НОУ ИНТУИТ | Введение в компьютерную алгебру. Лекция 4: Базисы Гребнера

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 04.03.2008 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 28 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Базисы Гребнера в полиномиальных, дифференциальных и разностных модулях

Пусть $X=\{x_1,\dots,x_m\}$ - конечная система элементов. Через T=T(X) обозначим свободную коммутативную полугруппу с единицей (записываемую мультипликативно), порожденную элементами множества . Элементы этой группы будем называть мономами. Пусть $\theta\in T$ , $\theta=x_1^{e_1}\dots x_m^{e_m}$ . Порядком монома $\theta$ будем называть сумму $e_1+\dots+e_m$ и обозначать ее будем $\textrm{ord}\theta$ . Предположим, что мономы линейно упорядочены так, что для любого элемента $\theta\in T$ выполняются следующие условия:

$\begin{equation} 1\leq\theta. \end{equation}$

( 9.1)

Если $\theta_1<\theta_2$ , то

$\begin{equation} \theta\theta_1<\theta\theta_2. \end{equation}$

( 9.2)

Тогда будем говорить, что на множестве мономов задан ранжир. Следующие примеры показывают, что для одного и того же конечного множества существуют различные ранжиры.

9.1. ПРИМЕР (лексикографическое упорядочение мономов) Пусть $\theta_1=x_1^{e_1}\dots x_m^{e_m},\quad \theta_2=x_1^{i_1}\dots x_m^{i_m}$ . Тогда $\theta_1<\theta_2$ , если либо e_1<i_1 , либо e_j=i_j для $j=1,\dots,k$ и $e_{k+1}<i_{k+1}$ для некоторого (1<k<m) .

9.2. ПРИМЕР (стандартный ранжир) предположим, что $\theta_1=x_1^{e_1}\dots x_m^{e_m}<\theta_2=x_1^{i_1}\dots x_m^{i_m}$ , если либо $\ord\theta_1<\ord\theta_2$ , либо $\ord\theta_1=\ord\theta_2$ и $\theta_1<\theta_2$ относительно лексикографического упорядочения.

9.3. ПРИМЕР (упорядочение по полной степени, затем обратное лексикографическое) Пусть $\theta_1=x_1^{e_1}\dots x_m^{e_m}$ , $\theta_2=x_1^{i_1}\dots x_m^{i_m}$ . Положим $\theta_1<\theta_2$ , если либо $e_1+e_2+\dots+e_m<i_1+i_2+\dots +i_m$ , либо $e_1+e_2+\dots+e_m=i_1+i_2+\dots +i_m$ и существует , 0<k<m , такое, что e_j=i_j для $j=1,\dots,k-1$ и e_k>i_k .

Пусть - поле и - векторное -пространство с базисом T= T(X) . Определим на функцию "выделение лидера" следующим образом: каждый элемент из может быть представлен в виде суммы $g=\sum\limits_{\theta\in T}a_\theta\theta$ , где лишь конечное число коэффициентов $a_\theta\in K$ отлично от нуля (такое представление определено однозначно с точностью до порядка слагаемых). Среди всех мономов, входящих в это разложение с ненулевым коэффициентом, выберем максимальный относительно порядка, введенного на множестве мономов . Этот моном будем называть лидером элемента $g\in P$ и обозначать через $\textbf{u}_g$ . Корректность такого определения следует из однозначности разложения элемента векторного пространства по базису и из линейной упорядоченности множества .

9.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть задан ранжир на множестве мономов T=T(X) и - векторное -пространство с базисом . Предположим далее, что является -алгеброй, и $\textbf{u}_{A B}=\textbf{u}_A\textbf{u}_B$ для всех $A,B\in P$ . Кроме того, предположим, что $1\theta_1\cdot1\theta_2=1 \theta_1\theta_2\in P$ для любых $\theta_1,\theta_2\in T$ ; в частности, образующие $x_1,\dots,x_m$ коммутируют между собой. Такое кольцо будем называть кольцом обобщенных многочленов от переменных $X=\{x_1,\dots,x_m\}$ .

9.5. ПРИМЕР(кольцо коммутативных многочленов над полем) Рассмотрим любой ранжир на множестве $X=\{x_1,\dots,x_m\}$ . В качестве возьмем алгебру многочленов $K[x_1,\dots,x_m]$ от коммутирующих переменных $x_1,\dots,x_m$ над полем . Нетрудно увидеть, что условие $\textbf{u}_{A B}=\textbf{u}_A\textbf{u}_B$ будет выполнено для всех $A,B\in P$ , а, следовательно, мы можем рассматривать $K[x_1,\dots,x_m]$ как кольцо обобщенных многочленов от переменных $x_1,\dots,x_m$ .

9.6. ПРИМЕР(кольцо дифференциальных операторов над полем) Пусть - дифференциальное поле с базисным множеством $\Delta= \{d_1,\dots,d_m\}$ попарно коммутирующих между собой дифференцирований. Ранжир на множестве так же, как и в примере 9.5, может быть любым. Тогда кольцо $D=K[d_1,\dots,d_m]$ линейных дифференциальных операторов над (см. определение 3.4) будет являться кольцом обобщенных многочленов от неизвестных $d_1,\dots,d_m$ .

9.7. ПРИМЕР(кольцо дифференциальных операторов над кольцом многочленов) Пусть - дифференциальное поле с базисным множеством дифференцирований $\Delta=\{d_1,\dots,d_m\}$ , и пусть - кольцо коммутативных многочленов от переменных $y_1,\dots,y_n$ над полем . Определим дифференцирования $\Delta'=\{d'_1,\dots,d'_m\}$ кольца следующим образом: если $1\leq i\leq m$ , то d'_i(y_j)=0 для всех $j=1,\dots,n$ . Выберем теперь для каждого $i\in \mathbb N_m$ число $j\in \mathbb N_n$ и положим d'_i(k)=d_i(k)y_j для всех $j=1,\dots,n$ и $k\in K$ . Тогда кольцо D_R линейных $\Delta'$ -операторов над кольцом будет являться кольцом обобщенных многочленов от переменных $X=\{d'_1,\dots,d'_m,y_1,\dots,y_n\}$ . Действительно, если мы рассмотрим такой ранжир, что d'_i>y_j для всех $i=1,\dots,m$ , $j=1,\dots,n$ , то, как легко доказать, условие $\textbf u_f \textbf u_g= \textbf u_{f g}$ будет выполнено.

9.8. ПРИМЕР(кольцо разностных операторов над полем) Пусть - разностное поле с базисным множеством попарно коммутирующих автоморфизмов $\{\alpha_1,\dots,\alpha_m\}$ . Тогда кольцо $R=K[\alpha_1,\dots,\alpha_m]$ линейных разностных операторов (см. определение 3.9) будет являться кольцом обобщенных многочленов от переменных $\alpha_1,\dots,\alpha_m$ . В качестве ранжира можно выбрать любое упорядочение, удовлетворяющее условиям (9.1)-(9.2).

9.9. ПРИМЕР(кольцо дифференциально-разностных операторов над полем) Обобщением примеров 9.6 и 9.8 является случай кольца $R=K[d_1,\dots,d_m,\alpha_1,\dots,\alpha_q]$ , когда часть переменных соответствует дифференцированиям, а другая часть - автоморфизмам.

Пусть теперь - кольцо обобщенных многочленов от переменных $X=\{x_1,\dots,x_m\}$ над полем , и - свободный -модуль с базисом $\mathfrak B=\{b_1,\dots,b_n\}$ . Как векторное пространство над модуль имеет в качестве базиса прямое произведение $T\times \mathfrak B$ множеств T=T(X) и $\mathfrak B$ . Это множество мы будем называть множеством термов модуля , $T_F=\{x_1^{i_1}\dots x_m^{i_m}b_j\ |\ (i_1,\dots,i_m)\in \mathbb N_0^m,\ j=1,\dots,n\}$ . Термы перемножать нельзя, однако определено произведение терма на моном из соответствующего кольца многочленов. В дальнейшем мы будем обычно отождествлять терм $x_1^{i_1}\dots x_m^{i_m}b_j$ с вектором $(j,i_1,\dots,i_m)\in \mathbb N_0^{m+1}$ .

9.10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ранжиром на множестве термов T_F будем называть отношение полного порядка на T_F , удовлетворяющее следующим условиям:

$\phi\leq\theta \phi$ для любого терма $\phi\in T_F$ и любого монома $\theta\in T$ ;
если $\phi_1\leq \phi_2$ , где $\phi_1,\phi_2\in T_F$ , то $\theta \phi_1\leq \theta \phi_2$ для всех $\theta\in T$ .