НОУ ИНТУИТ | Введение в компьютерную алгебру. Лекция 4: Базисы Гребнера

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 04.03.2008 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 28 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

9.34. УПРАЖНЕНИЕ. Показать, что многочлены

$\begin{align*} f_1&=x^3yz-xz^2,\\ f_2&=xy^2z-xyz,\\ f_3&=x^2y^2-z^2 \end{align*}$

не составляют базис Гребнера порождаемого ими идеала (упорядочение по степени, затем обратное лексикографическое, x > y > z

).

9.35. УПРАЖНЕНИЕ. Показать, что многочлены

$\begin{align*} f_1&=x^3yz-xz^2,& \quad f_6&=yz^3-z^3,\\ f_2&=xy^2z-xyz, & \quad f_7&=xyz^2-xz^2,\\ f_3&=x^2y^2-z^2,& \quad f_8&=z^4-x^2z^2,\\ f_4&=x^2yz-z^3, & \quad f_9&=x^3z^2-xz^2\\ f_5&=xz^3-xz^2, \end{align*}$

образуют базис Гребнера идеала, введенного в предыдущем упражнении.

9.36. УПРАЖНЕНИЕ. Показать, что, используя теорему 9.33.11, в предыдущем упражнении достаточно рассмотреть -элементы для пар (2,3), (2,4), (5,6), (4,7), (2,7), (5,7), (5,8), (6,8), (4,9), (5,9).

9.37. УПРАЖНЕНИЕ. Пусть - кольцо обобщенных многочленов над полем от конечного числа неизвестных, - свободный -модуль и ранжир на множестве термов T_F правильный. Пусть - подмодуль модуля и - базис Гребнера подмодуля . Показать, что для каждого элемента $f\in H$ существует представление $f=\sum\limits_{j=1}^r\lambda_j g_j$ , где $\lambda_j\in D,\ g_j\in G$ , такое, что $\deg f\geq \deg\lambda_j g_j$ для всех $j=1,\dots,r$ .

Если данная система элементов не является базисом Гребнера порождаемого ею подмодуля, то ее можно расширить, присоединяя поочередно элементы, получающиеся редуцированием -элементов.

9.38. УПРАЖНЕНИЕ. Доказать конечность следующего рекурсивного алгоритма построения базиса Гребнера полиномиального идеала (алгоритм пополнения).

Алгоритм $\textrm{Groebner}$ ( $\EuScript A$ )

$\begin{align*} &\text{Дано: $\EuScript A$—конечное множество образующих идеала $I$,}\\ &\text{\qquad $\Rightarrow $ — алгоритм нормальной формы.}\\ &\text{Надо: $\EuScript A$ — базис Гребнера идеала $I$.}\\ &\text{Начало}\\ &\text{если $\exists g_1, g_2 \in \EuScript A$, такие, что $S(g_1,g_2) \overset*{\underset{\EuScript A}\implies} g'$,}\\ &\text{\qquad где $g' \neq 0$ — нередуцируемый относительно $\EuScript A$ многочлен,}\\ &\text{\qquad то $\textrm{Groebner}(\EuScript A \cup {g'})$}\\ &\text{конец если}\\ &\text{Конец} \end{align*}$

Очевидно, что сформулированный алгоритм не является оптимальным. Учитывая роль, которую базисы Гребнера играют в компьютерной алгебре, и высокую сложность алгоритмов их построения, оптимизация этих алгоритмов приобретает особое значение. Вопросы оптимизации будут рассмотрены несколько позже.

Базис Гребнера для любого подмодуля определен неоднозначно. В частности, после присоединения к базису Гребнера модуля любого элемента $h \in M$ снова получаем базис Гребнера модуля . Естественно возникает вопрос о минимальных базисах Гребнера.

Следующая терминология пришла из дифференциальной алгебры.

9.39. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Подмножество $G = \{ g_i: i \in I\}$ свободного модуля называется авторедуцированным множеством, если любой элемент $g_i \in G$ нередуцируем относительно $G\setminus\{g_i \}$ .

Из определения немедленно следует, что лидеры всех элементов, принадлежащих авторедуцированному множеству, различны.

9.40. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть - кольцо обобщенных многочленов от переменных $X=\{x_1,\dots,x_m\}$ над полем и - свободный -модуль с базисом $E=\{e_1,\dots,e_n\}$ . Любое авторедуцированное множество в состоит из конечного числа элементов, следовательно, его элементы можно упорядочить по возрастанию лидеров.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Доказательство немедленно следует из леммы 12.1.

Зафиксировав ранжир < на множестве термов T_F , можно ввести отношение частичного порядка на множестве авторедуцированных множеств.

Пусть $\A=\{a_1,\dots,a_p\}$ и $\B=\{b_1,\dots,b_q\}$ - авторедуцированные множества, элементы которых упорядочены по возрастанию лидеров. Будем считать, что $\EuScript A < \EuScript B$ , если,

либо существует , $1 \leq i \leq min(p,q)$ , такое, что $\textbf{u}_{a_i}<\textbf{u}_{b_i}$ и $\textbf{u}_{a_j}=\textbf{u}_{b_j}$ для всех ,
либо и $\textbf{u}_{a_j} =\textbf{u}_{b_j}$ для $1 \leq j \leq q$ .

9.41. ЛЕММА. Любое множество $\mathbb A=\{ \EuScript A_i,\ i\in I\}$ авторедуцированных подмножеств содержит минимальный элемент относительно введенного частичного порядка. Минимальный элемент в множестве всех авторедуцированных подмножеств некоторого подмодуля свободного -модуля является базисом Гребнера модуля .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По предложению 9.40 мы можем предполагать, что элементы в наших авторедуцированных множествах упорядочены по возрастанию старших термов. Зафиксируем минимальное значение лидера для первых элементов рассматриваемых авторедуцированных множеств (это значение определено однозначно, поскольку множество термов вполне упорядочено). Обозначим этот лидер $\phi_1$ . В системе авторедуцированных множеств $\mathbb A = \{ \EuScript A _i \mid i\in I\}$ рассмотрим подсистему $\mathbb A '= \{ \EuScript A_i \mid i\in I'\}$ множеств $\EuScript A_i=\{a^i_1,\dots,a^i_{k_i}\}$ , таких, что $\textbf{u}_{a^i_1} = \phi_1$ . В $\mathbb A'$ найдем минимальное значение лидера вторых элементов, обозначим его $\phi_2$ . Продолжая подобным образом, получим авторедуцированную систему термов, упорядоченную по возрастанию ранга их лидеров. По предложению 9.40 эта система должна обрываться на конечном шаге. Выбор системы лидеров осуществлялся таким образом, чтобы всегда существовало авторедуцированное множество, лидеры элементов которого имели вид $\phi_1,\dots, \phi_i$ . Авторедуцированное множество, соответствующее полной системе $\phi_1,\dots, \phi_n$ , является минимальным.

Для доказательства того, что - базис Гребнера модуля , воспользуемся условием 2 теоремы 9.33 Предположим противное, тогда существует элемент $g \in M$ , старший терм которого редуцирован относительно $\EuScript A$ . Можно предполагать, что он сам также редуцирован относительно $\EuScript A$ . Рассмотрим множество

$\EuScript A'=\{a_i\in \EuScript A\mid a_i < g\}\cup\{g\}.$

Это множество авторедуцировано и его ранг меньше ранга $\EuScript A$ , что противоречит предположению о минимальности $\EuScript A$ .

9.42. СЛЕДСТВИЕ. Пусть - кольцо обобщенных многочленов над полем, - свободный конечнопорожденный -модуль. Тогда для каждого подмодуля модуля существует базис Гребнера.

9.43. СЛЕДСТВИЕ. Всякое кольцо обобщенных многочленов над полем является (слева) нетеровым.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Как следует из следствия 9.42, во всяком левом идеале такого кольца существует базис Гребнера. Как видно из определения 9.26, базис Гребнера конечен и порождает этот идеал.

9.44. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Базис Гребнера модуля $M \subseteq F$ назовем авторедуцированным, если множество авторедуцировано.

9.45. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Авторедуцированный базис Гребнера модуля определен однозначно с точностью до умножения его элементов на константы из поля .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Среди всех авторедуцированных подмножеств модуля выберем минимальное. Обозначим его $\EuScript A$ и предположим, что его элементы нормированы так, что все их старшие коэффициенты равны 1. Покажем, что этим условием множество $\EuScript A$ определено однозначно и что оно является базисом Гребнера модуля .

Предположим, что $\EuScript A = \{a_1,\dots, a_r \}$ и $\EuScript B = \{b_1,\dots,b_s\}$ - два множества, удовлетворяющих сформулированным выше условиям. Из условия минимальности следует, что r=s и $\textbf{u}_{a_i} =\textbf{u}_{b_i}$ для любого . Предположим, что существует , для которого $a_i \neq b_i$ . Ненулевой элемент $a_i -b_i\in M$ редуцирован относительно a_j для j < i , поскольку нередуцируемость зависит только от множеств лидеров для $\EuScript A$ и $\EuScript B$ , а эти множества лидеров совпадают. По лемме 9.41 $\EuScript A$ - базис Гребнера модуля , что противоречит нетривиальности элемента a_i-b_i .

9.46. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть $\EuScript B=\{b_1,\dots,b_s\}$ - -базис модуля $M \subseteq F$ , относительно некоторого упорядочения термов из T_F . Назовем базис $\EuScript B$ редуцируемым, если для некоторого , $1\leq i\leq s$ , существует -представление $b_i = \smash[b]{\sum\limits_{j\neq i}} c_j b_j$ , в противном случае $\EuScript B$ называем нередуцируемым.

9.47. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. -базис $\EuScript B$ модуля , содержащий элементов, назовем минимальным, если не существует -базиса $\EuScript B'$ модуля , содержащего менее элементов.

9.48. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Понятия минимальности и нередуцируемости -базисов совпадают. Каждый авторедуцированный -базис минимален, и каждый минимальный -базис квазиавторедуцирован, т.е. множество его лидеров авторедуцировано (это множество определяется модулем однозначно).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, что редуцируемый -базис не является минимальным. Таким образом для доказательства предложения достаточно показать, что лидеры элементов нередуцируемого базиса определены однозначно. Доказательство проходит во многом аналогично доказательству предложения 9.45 и оставляется читателю в качестве самостоятельного упражнения.

9.49. ПРИМЕРЫ.

Пусть - поле и . Если матрица системы линейных многочленов приведена к ступенчатому виду, т.е. нет строк, которые начинаются с одного и того же столбца, то эта система представляет собой базис Гребнера порождаемого ею модуля. Показать, что обратное, в общем случае, неверно, т.е. могут существовать базисы Гребнера векторного подпространства, первые ненулевые элементы различных векторов которых стоят в одном и том же столбце.
Пусть - поле, . Множество $\EuScript B$ является базисом Гребнера порождаемого им идеала тогда и только тогда, когда оно содержит НОД всех своих элементов. Минимальный базис Гребнера в этом случае состоит из одного элемента.
Базис Гребнера в упражнении 9.35 не является минимальным. После удаления из него первого элемента он становится минимальным и даже авторедуцированным.

9.50. УПРАЖНЕНИЕ. Показать, что система алгебраических уравнений не имеет решений в алгебраическом замыкании поля коэффициентов тогда и только тогда, когда базис Гребнера идеала, порожденного этой системой, содержит константу.

9.51. УПРАЖНЕНИЕ. Показать, что система алгебраических уравнений из $K[x_1,\dots,x_n ]$ имеет конечное множество решений в алгебраическом замыкании поля коэффициентов тогда и только тогда, когда базис Гребнера идеала, порожденного этой системой, содержит для любого $i=1,\dots,n$ многочлен со старшим мономом, являющимся степенью x_i .