НОУ ИНТУИТ | Введение в компьютерную алгебру. Лекция 2: Проблема представления данных

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 04.03.2008 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 28 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Целые p-адические числа.

p -адические числа играют значительную роль в теории чисел, и для более подробного знакомства с ними читателю следует обратиться к литературе по теории чисел, например к книге [ 3 ] . Здесь мы только приведем основные определения и некоторые свойства p -адических чисел.

2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть p — некоторое простое число. Последовательность целых чисел

{x_n} = {x₀, x₁, . . . , x_n, . . . },

обладающая тем свойством, что

$\begin{equation}\label{BSh4} x_n\equiv x_{n-1}\pmod{p^n} \end{equation}$

( 2.1)

для всех n >= 1, определяет новый объект, называемый целым p - адическим числом. Две последовательности {xn} и $\{x'_n\}$ тогда и только тогда определяют одно и то же целое p -адическое число, когда $x_n\equiv x'_n\pmod{p^{n+1}}$ для всех n >= 0.

В отличие от целых p -адических чисел, обычные целые числа часто называют целыми рациональными.

Каждому целому рациональному числу x можно сопоставить целое p -адическое число, определяемое последовательностью

{x, x, . . . , x, . . . }.

Это p -адическое число будем обозначать той же буквой x. Множество целых p -адических чисел будем обозначать Op.

Укажем способ, при помощи которого из всех последовательностей, определяющих одно и то же p -адическое число, можно выбрать одну стандартную.

Пусть {x_n} — целое p -адическое число. Обозначим через $\bar x_n$ наименьшее неотрицательное число, сравнимое с x_n по модулю pⁿ⁺¹, т. е.

$x_n\equiv \bar x_n\pmod{p^{n+1}}, \quad$

( 2.2)

$0\le\bar x_n<p^{n+1}.\quad \quad \quad \quad$

( 2.3)

Для любого целого p -адического числа {x_n}, последовательность, все члены которой удовлетворяют условиям (2.2) и (2.3), будем называть канонической.

Ставя в соответствие каждому целому p -адическому числу его каноническую последовательность, мы получаем взаимно однозначное соответствие между множеством целых p -адических чисел и множеством последовательностей вида

{a₀, a₀ + a₁p, a₀ + a₁p + a₂p², . . . , },

где 0 <= a_i < p.

2.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Суммой и произведением целых p -адических чисел $\alpha$ и $\beta,$ определяемых последовательностями {x_n} и {y_n}, называются целые p -адические числа, определяемые соответственно последовательностями {x_n + y_n} и {x_ny_n}.

2.3. УПРАЖНЕНИЕ. Показать, что введенные выше операции определены корректно и превращают O_p в коммутативное кольцо с единицей.

Сформулируем несколько теорем, доказательство которых оставляется читателю в качестве упражнения (их можно найти, например, в [ 3 ] ).

2.4. ТЕОРЕМА. Целое p -адическое число $\alpha,$ определяемое последовательностью {x₀, x₁, . . . , x_n, . . . }, тогда и только тогда является единицей (т. е. обратимым) в O_p, когда $x_0\not\equiv 0\pmod p$ .

2.5. ТЕОРЕМА. Всякое отличное от нуля целое p -адическое число $\alpha$ однозначно представляется в виде

$\begin{equation}\label{BSh8} \alpha=p^m\varepsilon, \end{equation}$

( 2.4)

где $\varepsilon$ — единица кольца O_p.

2.6. ТЕОРЕМА. Для любого натурального n, всякое целое p -адическое число сравнимо с целым рациональным числом по модулю p_n. Два целых рациональных числа тогда и только тогда сравнимы по модулю pn в кольце O_p, когда они сравнимы по этому модулю в кольце $\mathbb Z$ .

2.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число m в представлении (2.4) отличного от нуля целого p -адического числа $\alpha$ называется p -показателем числа $\alpha$ и обозначается $\nu p(\alpha )$ .

Индекс p в определении показателя мы будем часто опускать и говорить просто о показателе, обозначая его $\nu (\alpha )$ . Доопределим показатель, полагая $\nu (0) = \infty$ . Непосредственно проверяется, что