НОУ ИНТУИТ | Сервисы MATHCAD 14: реализация технологий экономико-математического моделирования. Лекция 4: Оптимизационные модели

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 27.05.2014 | Уровень: для всех | Доступ: платный | ВУЗ: Уральский государственный экономический университет

|

Вам нравится? Нравится 25 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

4.5. Оптимизация межотраслевого баланса

Возможность оптимизации межотраслевого баланса появляется, если коэффициенты прямых затрат отражают затраты не средние по отрасли, а для каждого способа и технологии производства. В таких моделях межотраслевого баланса представлено отдельно производство каждого вида продукции. Построение оптимизационных моделей межотраслевого баланса позволяет в условиях ограниченности ресурсов находить наиболее эффективные комбинации ресурсов для максимизации конечного продукта [22].

Задача 4.7.

Крупное структурное предприятие состоит из 6 подразделений, каждый из которых выпускает по 1 виду продукции. Отношения между подразделениями определены технологической матрицей прямых затрат. В таблице 4.8 указаны нормы прямых затрат подразделений, используемых в качестве промежуточного продукта для выпуска единицы продукции для каждого подразделения. Известны максимально допустимые ресурсы подразделений предприятия. Известны цены на готовую продукцию, которая направляется на внешний рынок. Оптимизировать новую программу – плановую валовую продукцию, так, чтобы распределение готовой продукции на собственные потребности и экспорт, давало максимальный доход от реализованной продукции.

Таблица 4.8.
	Подразделение 1	Подразделение 2	Подразделение 3	Подразделение 4	Подразделение 5	Подразделение 6	Цена
Подразделение 1	0,01	0,03	0,05	0,07	0,09	0,12	2
Подразделение 2	0,03	0,05	0,06	0,08	0,1	0,13	6
Подразделение 3	0,05	0,07	0,07	0,09	0,11	0,14	3
Подразделение 4	0,07	0,09	0,08	0,1	0,12	0,15	7
Подразделение 5	0,09	0,11	0,09	0,11	0,13	0,16	8
Подразделение 6	0,11	0,13	0,1	0,12	0,14	0,17	1
Ресурсы подразделений	400	300	900	500	450	250

Модель задачи.

Входные переменные:

–количество подразделений , – текущий номер подразделения - производителя, – текущий номер подразделения-потребителя
$A_(ij)\; (i,j=\overline{1,n})$ - матрица прямых затрат,
- цены на готовую продукцию, которая направляют на внешний рынок,
– допустимые мощности подразделений, ресурсы,

Управляемые переменные - X_j - вектор плановой валовой продукции.

Выходные показатели –

Y_j -. конечная продукция подразделений,

$Y=(E-A)\cdot X$ - в соответствии с уравнением межотраслевого баланса, Z(X) - доход от реализации конечной продукции на внешнем рынке..

Целевая функция –оптимизируемый параметр – доход от реализации конечной продукции.

$Z(X)= (E-A)\cdot X \cdot C$

$Z(X)\to \max$

Ограничения.

$X_j\le M_j$ – ресурсные ограничения

$(E-A)\cdot X > 0$ – конечный продут положителен,

$X_j\ge 0$

В результате имеем систему уравнений.

$\left\{ \begin{array}{lc} X_j\le M_j \\ (E-A)\cdot X > 0 \\ X_j\ge 0\\ Z(X)=(E-A)\cdot X \cdot C \to \max \end{array} \right\$

( 4.12)

Решение. В программе Mathcad задача решается в матричном виде, аналогично всем приведенным примерам. Система уравнений с оптимизацией решается численно с помощью блока given и функции maximize() .

Входные данные

ORIGIN:=1

$i:=1..6, \; j:=1..6$

Матрица промежуточных потоков затрат: $A:=\begin{pmatrix} 0.01 & 0.03 & 0.05 & 0.07 & 0.09 & 0.12\\ 0.03 & 0.05 & 0.06 & 0.08 & 0.1 & 0.13\\ 0.05 & 0.07 & 0.07 & 0.09 & 0.11 & 0.14\\ 0.07 & 0.09 & 0.08 & 0.1 & 0.12 & 0.15\\ 0.09 & 0.11 & 0.09 & 0.11 & 0.13 & 0.16\\ 0.11 & 0.13 & 0.1 & 0.12 & 0.14 & 0.17 \end{pmatrix}$

Ресурсы подразделений: $M:=\begin{pmatrix} 400\\ 300\\ 900\\ 500\\ 450\\ 250 \end{pmatrix}$

Цена: $C:=\begin{pmatrix} 2\\ 6\\ 3\\ 7\\ 8 \\ 1 \end{pmatrix}$

E:=identity(6) – единичная матрица

– валовый планируемый выпуск

$(E-A)\cdot X$ – вектор конечной продукции

– доход от реализации конечной продукции – целевая функция

Оптимизация дохода: $Z - \max$

Решение:

$Z(X):=[(E-A)\cdot X]\cdot C$ , v1_i:=1 – единичный вектор

Начальные значения:

X_j:=1 , $A\cdot diag(X)\cdot v1$ – затраты – сумма по столбцам

Given

$X\le M$

$(E-A)\cdot X > 0$

$X\ge 0$

X1:=Maximixe (Z,X)

Оптимальный план валового выпуска: $X1:=\begin{pmatrix} 131\\ 300\\ 311\\ 500\\ 450\\ 250\end{pmatrix}$

Конечная продукция: $Y:=(E-A)\cdot X1$ , $Y:=\begin{pmatrix} -0\\ 145\\ 132\\ 297\\ 224 \\ 0 \end{pmatrix}$

Оптимальный доход: Z(X1)=5137

Промежуточные поставки: $A\cdot diag(X1)$ , $A\cdot diag(X1):=\begin{pmatrix} 1.313 & 9 & 15.526 & 35 & 40.5 & 30 \\ 3.94 & 15 & 18.632 & 40 & 45 & 32.5 \\ 6.567 & 21 & 21.737 & 45 & 49.5 & 35\\ 9.194 & 27 & 24.842 & 50 & 54 & 37.5 \\ 11.821 & 33 & 27.947 & 55 & 58.5 & 40 \\ 14.447 & 39 & 31.053 & 60 & 63 & 42.5\end{pmatrix}$

Затраты – суммы по столбцам $S:= A\cdot diag(X1) \cdot v1$ , $S:=\begin{pmatrix} 131.34\\ 155.072\\ 178.804\\ 202.536\\ 226.268\\ 250\end{pmatrix}$

Рис. 4.7. Валовая продукция, конечный продукт

Рис. 4.8. Затраты

Основные итоги

Рассмотрены основные типы оптимизационных задач.

Задача формирования оптимальной производственной программы - три модели: модель получения максимальной прибыли без заданного плана и с планом, модель в комплектной постановке - получение максимальной доли плана выпуска продукции при нехватке ресурсов, т-модель - нахождения минимума дополнительного количества ресурсов, необходимых для выполнения полного плана. Две модели транспортной задачи. Задача оптимального комплектования штата работников. Задача максимизации конечного продукта в схеме межотраслевого баланса. Для каждой задачи определены входные данные, построена математическая модель. Каждая модель представлена в Mathcad в виде системы матричных уравнений. Системы уравнений решены численно - в блоке $given\; maximize\; (minimize)$ . Построены диаграммы результирующих данных.

Ключевые термины

Оптимизационная задача – задача, цель которой состоит в нахождении наилучшего (оптимального) с точки зрения некоторого критерия варианта использования имеющихся ресурсов.

Оптимизационная модель – математическая модель решения оптимизационной задачи.

Математическое программирование - направление математики, изучающее методы решения оптимизационных задач.

Целевая функция – функция, определяющая критерий оптимальности в оптимизационной задаче.

Управляемые переменные - переменные целевой функции, которые подвергаются изменению в процессе поиска решения.

Ограничения – системы уравнений и неравенств, ограничивающих область решения оптимизационной задачи в соответствии с заданными условиями.

Нормированная стоимость - изменение целевой функции при изменении соответствующего управляемого параметра на единицу.

Транспортная задача - оптимизационная задача оптимального прикрепления потребителей к поставщикам при доставке грузов.

Задача оптимального распределения трудовых ресурсов – оптимизационная задача распределения трудовых ресурсов при выбранном критерии оптимальности.

Дальше >>

Сервисы MATHCAD 14: реализация технологий экономико-математического моделирования

Сервисы MATHCAD 14: реализация технологий экономико-математического моделирования