Опубликован: 27.05.2014 | Уровень: для всех | Доступ: платный | ВУЗ: Уральский государственный экономический университет
Лекция 4:

Оптимизационные модели

Транспортная задача с промежуточными пунктами

Есть транспортные задачи, в которых пункты отправления и назначения являются промежуточными, через них переправляются товары в конечный пункт назначения. В данной постановке промежуточные пункты выступают и как потребители и как поставщики. В данном случае формируется единая транспортная матрица, в которой количество поставщиков и количество потребителей увеличивается на число промежуточных пунктов.

Задача 4.5.

Усложним условия задачи 4.4. Фирмы производят и вывозят мебель на 3 склада. Необходимо распределить доставку товаров от поставщиков на склады, со складов в магазины по заказам так, чтобы оптимизировать транспортные расходы. Фирмы производят 280, 150, 225, 175 единиц. Вместимость складов 400, 300, 350 единиц. Магазины заказывают 100, 200, 50, 250 и 150 единиц товара, соответственно. Стоимость перевозок единиц продукции с фирм на склады и со склада в магазины приведена в таблице 4.4, таблице 4.5.

Таблица 4.4. Стоимость перевозки единицы продукции с фирм на склады
Фирмы Склад 1 Склад 2 Склад 3 Объемы производства на фирмах
Фирма 1 2,4 3,0 2,3 280
Фирма 2 3,9 3,2 4,3 150
Фирма 3 3,3 3,3 2,1 225
Фирма 4 4,3 2,7 3,2 175
Вместимость складов 400 300 350
Таблица 4.5. Стоимость перевозки единицы продукции со складов в магазины
Склады "Олимп" "Сфера" "Квартира" "Уют" "Товары для дома"
Склад 1 5,8 3,9 3,6 5,4 2,8
Склад 2 4,8 5,5 3,3 2,0 2,0
Склад 3 2,2 3,3 3,6 3,4 1,6
Потребности 100 200 50 250 150

Модель задачи.

В модель задачи. добавляется входная переменная склады - три склада D_k\; (k=\overline{1,s}),\; s=3. Склады выступают и как потребители, и как поставщики. Формируется единая матрица, в которой количество элементов поставщиков и количество потребителей увеличивается на число складов: строки = поставщики плюс склады, столбцы = склады плюс магазины. Для запрета перевозок со склада на другой склад и непосредственно от поставщиков в магазины устанавливается очень большой, нереальный тариф (999999).

Таблица стоимости доставки со склада на склад имеет вид:

Склад 1 Склад 2 Склад 3
Склад 1 0 999999 999999
Склад 2 999999 0 999999
Склад 3 999999 999999 0

Таблица стоимости доставки со склада в магазин имеет вид:

Фирмы "Олимп" "Сфера" "Квартира" "Уют" "Товары для дома"
Фирма 1 999999 999999 999999 999999 999999
Фирма 2 999999 999999 999999 999999 999999
Фирма 3 999999 999999 999999 999999 999999
Фирма 4 999999 999999 999999 999999 999999

Задача решается в объединенной матрице. M_{i+k, k+j} стоимость доставки в объединенной матрице стоимостей. Баланс устанавливается по сумме производства поставщиков и емкости складов, с одной стороны, и емкости складов и потребности магазинов, с другой стороны. \sum_{i}^{4}A_i+\sum_{k}^{3}D_k=\sum_{k}^{3}D_k+\sum_{j}^{5}B_j.

Здесь \sum_{i}^{4}A_i+\sum_{k}^{3}D_k=1880, \sum_{k}^{3}D_k+\sum_{j}^{5}B_j=1800 данной задаче необходим фиктивный потребитель с потребностью 80 ед. В остальном модель аналогична предыдущей модели. Система уравнений:


\left\{  
\begin{array}{lc}  
\sum_{i=1}^{m+s}x_{ij}=A_i(i=\overline{1,m})+D_k(k=\overline{1,s}) \\
\sum_{j=1}^{n+s}x_{ij}=B_j(j=\overline{1,n})+D_k(k=\overline{1,s}) \\
x_j\ge 0, \; i=\overline{1,m+s}, \; j=\overline{1,n+s} \\  
F=\sum_{i}^{n+s}\sum_{j}^{m+s}M_{ij}\cdot x_{ij}\to \min \\
\end{array}   
\right\
( 4.10)

Решение. В Mathcad задача строится аналогично транспортной задаче. Данные вводятся в матричном виде, оптимизация реализуется с помощью блока given и функции minimize, ограничения вводятся с единичные векторы. Здесь ообенность заключается в том, строится объединенная матрица. Для этого используем встроенные функции для матричных операций

Функция augment (M1, M2) объединяет в одну матрицы М1 и М2, имеющие одинаковое число строк.

Функция stack (M1, M2) объединяет в одну матрицы М1 и М2, имеющие одинаковое число столбцов. (см. Приложение 2). Документ Mathcad решения задачи показан ниже.

ORIGIN:=1

Входные данные

\underline{i}:=1..4 - фирмы-поставщики

\underline{j}:=1..5 - магазины-потребители

\underline{k}=1..3 - склады

Производство фирм поставщиков: A:=\begin{pmatrix} 280\\ 150\\ 225\\ 175 \end{pmatrix}

Емкость складов: D:=\begin{pmatrix} 400\\ 300\\ 350 \end{pmatrix}

Потребность магазинов: B:=\begin{pmatrix} 100\\ 200\\ 50\\ 250\\ 150\end{pmatrix}

\sum_{\underline{i}=1}^{4}\underline{A}_{\underline{i}}=830, \sum_{\underline{k}=1}^{3}\underline{D}_{\underline{k}}=1050, \sum_{\underline{j}=1}^{5}\underline{B}_{\underline{j}}=750

\underline{поставщики}+\underline{склады}: \sum_{\underline{i}}^{}\underline{A}_{\underline{i}}+\sum_{\underline{k}}^{}\underline{D}_{\underline{k}}=1880

\underline{склады}+\underline{магазины}: \sum_{\underline{j}}^{}\underline{B}_{\underline{j}}+\sum_{\underline{k}}^{}\underline{D}_{\underline{k}}=1800

Вводим фиктивного потребителя в магазин с потребностью 80 ед.

\underline{j}:=1..6 , \underline{j}:=1..\underline{n}

\underline{магазины}+\underline{фиктивный}

\underline {B}:=\begin{pmatrix} 100\\ 200\\ 50\\ 250 \\ 150 \\ 80\end{pmatrix}

Стоимость перевозки ед. продукции от фирмы на склад: с:=\begin{pmatrix} 2.4 & 3 & 2.3 \\ 3.9 & 3.2 & 4.3 \\ 3.3 & 3.3 & 2.1\\ 4.3 & 2.7 & 3.2 \end{pmatrix}

Стоимость перевозки ед. продукции со склада в магазин: с:=\begin{pmatrix} 5.8 & 3.9 & 3.6 & 5.4 & 2.8 & 0 \\ 4.8 & 5.5 & 3.3 & 2.0 & 2.0 & 0 \\ 2.2 & 3.3 & 3.6 & 3.4 & 1.6 & 0 \end{pmatrix}

Решение

матрица стоимостей фиктивной доставки со склада на склад: underline{cc}:=\begin{pmatrix} 0 & 999999 & 999999 \\ 999999 & 0 & 999999 \\ 999999 & 999999 & 0 \end{pmatrix}

матрица стоимостей фиктивной доставки с фирмы в магазин: underline{cc1}:=\begin{pmatrix} 999999 & 999999 & 999999 & 999999 & 999999 & 0 \\ 999999 & 999999 & 999999 & 999999 & 999999 & 0 \\ 999999 & 999999 & 999999 & 999999 & 999999 & 0 \\ 999999 & 999999 & 999999 & 999999 & 999999 & 0 \end{pmatrix}

Объединяем матрицы: \underline{M1}:=\underline{argument}(\underline{c},\underline{cc1}), \underline{A1}:=\underline{stack}(\underline{A},\underline{D})

\underline{M2}:=\underline{argument}(\underline{cc},\underline{c1}), \underline{B1}:=\underline{stack}(\underline{D},\underline{B})

\underline {A1}:=\begin{pmatrix} 280\\ 150\\ 225\\ 175\\ 400\\ 300 \\ 350 \end{pmatrix}, \underline {B1}:=\begin{pmatrix} 400\\ 300\\ 350\\ 100\\ 200\\ 50\\ 250 \\ 150 \\ 80\end{pmatrix}

\underline {M1}:=\begin{pmatrix} 2.4 & 3 & 2.3 & 10\times 10^5 & 10\times 10^5 & 10\times 10^5 & 10\times 10^5 & 10\times 10^5 & 0\\ 3.9 & 3.2 & 4.3 & 10\times 10^5 & 10\times 10^5 & 10\times 10^5 & 10\times 10^5 & 10\times 10^5 & 0\\ 3.3 & 3.3 & 2.1 & 10\times 10^5 & 10\times 10^5 & 10\times 10^5 & 10\times 10^5 & 10\times 10^5 & 0 \\ 4.3 & 2.7 & 3.2 & 10\times 10^5 & 10\times 10^5 & 10\times 10^5 & 10\times 10^5 & 10\times 10^5 & 0 \end{pmatrix}

\underline {M2}:=\begin{pmatrix} 0 & 10\times 10^5 & 10\times 10^5 & 5.8 & 3.9 & 3.6 & 5.4 & 2.8 & 0\\ 10\times 10^5 & 0 & 10\times 10^5 & 4.8 & 5.5 & 3.3 & 2 & 2 & 0\\ 10\times 10^5 & 10\times 10^5 & 0 & 2.2 & 3.3 & 3.6 & 3.4 & 1.6 & 0 \end{pmatrix}

\underline{M}:=\underline{stack}(\underline{M1},\underline{M2}), \underline {M}:=\begin{pmatrix} 2.4 & 3 & 2.3 & 999999 & 999999 & 999999 & 999999 & 999999 & 0\\ 3.9 & 3.2 & 4.3 & 999999 & 999999 & 999999 & 999999 & 999999 & 0\\ 3.3 & 3.3 & 2.1 & 999999 & 999999 & 999999 & 999999 & 999999 & 0 \\ 4.3 & 2.7 & 3.2 & 999999 & 999999 & 999999 & 999999 & 999999 & 0 \\ 0 & 999999 & 999999 & 5.8 & 3.9 & 3.6 & 5.4 & 2.8 & 0\\ 999999 & 0 & 999999 & 4.8 & 5.5 & 3.3 & 2 & 2 & 0\\ 999999 & 999999 & 0 & 2.2 & 3.3 & 3.6 & 3.4 & 1.6 & 0\end{pmatrix}

i:=1..7.\; j:=1..9

Начальные значения: x_{i,j}:=1

Единичный вектор для строк и столбцов v1_i:=1,\; v2_j:=1

F(x):=\sum_{i=1}^{7}\sum_{j=1}^{9}(x_{i,j}\cdot M_{i,j})

Civen

x^T\cdot v1=B1

x\cdot v2=A1

x\ge 0

Оптимальные перевозки: x:=Minimize(F,x)

Затраты: F(x)=26000065

Ограничения:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline & 1 &  2 &  3 &  4 &  5 &  6 & 7 & 8 & 9 \\
\hline 1&  113 & 13 & 35 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\hline 2 & 4 & 18 & 49 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0  & 9 \\
\hline 3 & 110 & 78 & 37 &  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\hline 4 & 100 & 18 & 56 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\hline 5 & 73 & 0 & 0 & 39 & 94 & 42 & 27 & 126 & 0 \\
\hline 6 & 0 & 54 & 0 & 10 & 81 & 8 &137 & 9 & 0\\
\hline 7 & 0 & 0 & 173 & 51 & 25 & 0 & 86 & 15 & 0 \\
\hline  
\end{array}

x\cdot v2:=\begin{pmatrix} 280\\ 150\\ 225\\ 175\\ 400\\ 300 \\ 350 \end{pmatrix}, x^T\cdot v1:=\begin{pmatrix} 400\\ 300\\ 350\\ 100\\ 200\\ 50\\ 250 \\ 150 \\ 80\end{pmatrix}

Диаграмма доставки

Рис. 4.4. Диаграмма доставки
Василий Долгополов
Василий Долгополов
Россия, Санкт-Петербург, БГТУ
Дмитрий Горский
Дмитрий Горский
Россия, Ростов-на-Дону, РГЭУ РИНХ, 2006