НОУ ИНТУИТ | Основы информатики и программирования. Лекция 8: Проектирование цикла при помощи инварианта

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 27.09.2006 | Уровень: для всех | Доступ: свободно

|

Вам нравится? Нравится 44 студентам

| Поделиться |

Поддержать

| Скачать электронную книгу

Замена константы переменной

В качестве первого примера использования этого метода построения инварианта рассмотрим простую задачу суммирования элементов массива.

Задача 8.3. Напишите программу, находящую сумму элементов заданного целочисленного массива b[0..n-1] , элементы которого и величину изменять нельзя. Точные пред- и постусловия: Q = (n>0) ,

$\displaystyle R=\left(s = \sum_{j=0}^{n-1} b[j]\right).$

Решение В постусловие входит константа , которую мы можем заменить новой переменной , меняющейся в диапазоне от до включительно. Таким образом, метод замены константы переменной приводит нас к инварианту

$\displaystyle I=\left(0\leqslant i \leqslant n \land \left(s = \sum_{j=0}^{i-1} b[j]\right)\right).$

Понятно, что в качестве ограничивающей функции следует взять h=n-i

.

Истинности инварианта легко добиться обнулением величин и , поэтому искомая программа будет иметь вид "i=0;s=0;while(i<n)S;" с неизвестным нам пока телом цикла S.

Для того, чтобы цикл завершился, необходимо уменьшать , что вполне естественно делать, увеличивая на единицу на каждой итерации цикла. Используя инвариант, находим, что вторым необходимым действием является добавление к значения b[i] :

Текст программы

public class SumArr {
    static int b[];
    public static void main(String[] args) throws Exception { 
        int n = Xterm.inputInt("n -> ");
        b = new int[n];  
        for (int k=0; k<n; k++)
            b[k] = Xterm.inputInt("b["+k+"] -> ");
        int i=0, s=0;
        while (i < n) {
            s += b[i]; 
            i += 1;
        }
        Xterm.println("s = " + s);
    }
}

Докажем ее правильность.

Так как
$\displaystyle wp("i=0;s=0;", \left(0\leqslant i \leqslant n \land \left(s = \sum_{j=0}^{i-1} b[j]\right)\right) = \\ (0 \leqslant n \land T) = (0 \leqslant n),$
то $(Q \Rightarrow wp(S0, I)) = (n \leqslant 0 \lor 0 \leqslant n) = T$ .
$\displaystyle wp(S, I) = wp\left("s+=b[i];i+=1;", \left(0\leqslant i \leqslant n \land \left(s = \sum_{j=0}^{i-1} b[j]\right)\right)\right) = wp\left("s+=b[i];", \left(0\leqslant i+1 \leqslant n \land \left(s = \sum_{j=0}^{i} b[j]\right)\right)\right) = \Bigl(0\leqslant i+1 \leqslant n\ \land$

$\displaystyle \left(s+b[i] = \sum_{j=0}^{i} b[j]\right)\Bigr) = \left(-1\leqslant i \leqslant n-1 \land \left(s = \sum_{j=0}^{i-1} b[j]\right)\right).$

Теперь вычислим
$\displaystyle (I\land e \Rightarrow wp(S, I)) = (i<0)\lor(i>n)\lor !\left(s = \sum_{j=0}^{i-1} b[j]\right)\lor \\ (i \geqslant n) \lor \left(-1\leqslant i \leqslant n-1 \land \left(s = \sum_{j=0}^{i-1} b[j]\right)\right)$

Данный предикат заведомо истинен, если истинен один из первых четырех его дизъюнктивных членов. В противном случае имеем $0 \leqslant i <n$ и , поэтому истинен пятый его дизъюнктивный член, следовательно предикат является тавтологией.
$\displaystyle (I \land !e) = \left(0\leqslant i \leqslant n \land \left(s = \sum_{j=0}^{i-1} b[j]\right)\right)\land (i \geqslant n) = \left(s = \sum_{j=0}^{n-1} b[j]\right) \land (i=n)= (R \land (i=n))$
Очевидно, что $(I \land !e \Rightarrow R)$ .
$(I \land e \Rightarrow h > 0) = (!I \lor !e \lor h >0) = (!I\lor(i\geqslant n \lor n > i)) = (!I \lor T) = T$ .
$wp("h1=h; S;", h<h1) = wp("h1=n-i;",wp("s+=b[i];i+=1;",n-i<h1)) = \\ wp("h1=n-i;",n-i-1<h1)=(n-i-1<n-i)=T$ .

Следовательно, $(I\land e \Rightarrow wp("h1=h; S;", h<h1))= (I\land e \Rightarrow T) = (!I \lor !e \lor T) = T$ .

Построим более быструю программу нахождения приближенного значения квадратного корня.

Задача 8.4. Напишите программу, находящую приближенное значение квадратного корня $a \in \mathbb{Z}_M^+$ из заданного неотрицательного целого числа . Точные пред- и постусловия требуемой программы, временная сложность которой не должна превосходить $\Theta(\log n)$ , таковы: $Q=(n\in \mathbb{Z}_M \land n \geqslant 0)$ , $R= (a \in \mathbb{Z}_M \land a \geqslant 0 \land a^2\leqslant n \land (a + 1)^2 > n)$ . При написании программы величину изменять нельзя.

Решение Построим инвариант с помощью метода замены константы a+1 на переменную . Из условия задачи вытекает, что $a < b \leqslant n+1$ , следовательно инвариантом является предикат $I=(a < b \leqslant n+1 \land a^2\leqslant n < b^2)$ . Условие продолжения цикла легко получается из того факта, что предикат $(I \land !e \Rightarrow R)$ должен быть тавтологией — $e = (a+1\ne b)$ , а это означает использование ограничивающей функции h=b-a-1 .

После присваиваний "a=0;b=n+1;" предикат становится истинным, следовательно наша программа имеет вид "a=0;b=n+1;while(a+1!=b)S;" с неизвестным пока телом цикла S.

Для того чтобы цикл завершился, необходимо уменьшать , что эквивалентно сближению чисел и . Уменьшение разности b-a на единицу на каждой итерации цикла не позволит достичь требуемой в условии задачи эффективности программы. Нужная временная сложность может быть получена при использовании метода деления отрезка [a,b] пополам на каждой итерации и выборе той из половинок, на которой лежит искомое приближенное значение квадратного корня. Реализация данной идеи приводит к следующей программе.

Текст программы

public class Sqrt3 {
    public static void main(String[] args) throws Exception {
        int a, b, n;
        n = Xterm.inputInt("n -> ");
        a = 0; 
        b = n+1;
        while (a+1 != b) {
            int c = (a+b)/2;
            if (c*c <= n) a = c;
            else          b = c;
        } 
        Xterm.println("sqrt(" + n + ") = " + a);
    }
}

Докажите самостоятельно ее правильность и оцените эффективность.

Дальше >>

Основы информатики и программирования

Проектирование цикла при помощи инварианта

Замена константы переменной

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Основы информатики и программирования

Проектирование цикла при помощи инварианта

Замена константы переменной

Вопросы и ответы

Студенты