Особенности представления чисел в ЭВМ

Вещественные числа

Обсуждаемые в данной секции вопросы значительно более полно рассмотрены в четвертой главе классической книги Кнута [7].

Для представления вещественных чисел в языке Java используют переменные и константы типов float и double. Величины первого из них занимают четыре байта, а второго — восемь.

В отличие от множества целых чисел вещественные числа обладают свойством полноты: между любыми двумя различными числами всегда найдется отличное от них третье. Понятно, что любой из способов представления бесконечного множества вещественных чисел с помощью некоторого конечного множества не даст возможности сохранить свойство полноты. Наиболее распространенным способом реализации вещественных чисел на ЭВМ является использование чисел с плавающей точкой. При этом множество оказывается состоящим из элементов вида

где целые числа для всех из диапазона от 1 до удовлетворяют соотношению , а величина лежит в диапазоне от до ( ). Число является при этом основанием системы счисления (чаще всего это 2), константа задает точность представления чисел (для типа double она больше, чем для float ), а диапазон определяет область значений экспоненты (для типа double он также больше, чем для float ).

Число принято называть мантиссой числа с плавающей точкой. Часто требуют, чтобы для всех чисел величина была ненулевой. Такие числа с плавающей точкой называют нормализованными.

В языке Java для кодирования величин типов float и double также используют числа с плавающей точкой. При этом часть из имеющегося множества бит используют для размещения экспоненты , а остальные биты — для размещения мантиссы.

Для того чтобы хорошо понять, что же представляет из себя множество нормализованных чисел с плавающей точкой, полезно изобразить его на числовой прямой для случая небольших , и . Подобная задача приведена в конце параграфа. Сейчас же нам будет достаточно весьма качественного описания этого множества.

Так как симметрично относительно начала координат, то можно разобраться только с неотрицательными числами. Нуль, конечно же, принадлежит искомому множеству. Ближайшая к нулю следующая точка получается при , и . Это число для чисел типов float и double определено, как MIN_VALUE в классах java.lang.Float и java.lang.Double соответственно.

Правее располагается множество точек, следующих друг за другом с шагом . Затем шаг увеличивается. Потом еще. И еще. При расстояние между двумя соседними точками множества достигает . Самая правая точка множества получается при и . Для типов float и double это число определено, как MAX_VALUE в классах java.lang.Float и java.lang.Double.

Кроме перечисленных (и симметричных им отрицательных) значений в результате выполнения некоторых операций могут получиться также следующие особые значения: плюс бесконечность ( POSITIVE\_INFINITY ), минус бесконечность ( NEGATIVE\_INFINITY ), минус ноль и не число ( NaN ). Например, при делении единицы на минус ноль получается минус бесконечность.

Описанные особенности множества машинных вещественных чисел приводят к тому, что не для всех его элементов верны следующие соотношения, всегда справедливые для множества настоящих вещественных чисел :

• ;
• существует;
• ;
• ;
• ;
• .

Приведем несколько примеров, иллюстрирующих эти особенности множества .

Задача 4.1. Предъявите действительное (типа double ) число такое, что , а . Воспользуйтесь тем, что класс java.lang.Double определяет константу MAX_VALUE.

Текст программы

public class DblMaxVal {
    public static void main(String[] args) {    
        double x = Double.MAX_VALUE;
        double y = x + 1.0;

        if (x == y) {
            Xterm.print("Для числа ");
            Xterm.print("x = " + x, Xterm.Blue);
            Xterm.print(" величины x и (x+1) ");
            Xterm.print("равны!\n", Xterm.Red);
        }
	
        y = 2.0 * x;
        double z = y / 2.0;

        if (x != z) {
            Xterm.print("Для числа ");
            Xterm.print("x = " + x, Xterm.Blue);
            Xterm.print(" величины x и (2.0*x)/2.0 ");
            Xterm.print("различны\n", Xterm.Red);
            Xterm.print("и равны соответственно");
            Xterm.print(" " + x, Xterm.Red);
            Xterm.print(" и");
            Xterm.print(" " + z + "\n", Xterm.Red);
        }
    }
}

Задача 4.2.Предъявите такие действительные (типа double ) числа , и такие, что .

Достаточно вспомнить, что точки множества расположены на числовой прямой неравномерно.

Текст программы

public class DblNoAssociative {
    public static void main(String[] args) {    
        double x = 1.0e-16;
	
        double y =  1.  + (x  +  x);
        double z = (1.  +  x) +  x ;

        if (y != z) {
            Xterm.print("Для числа ");
            Xterm.print("x = " + x, Xterm.Blue);
            Xterm.print(" величины 1.+(x+x) и (1.+x)+x ");
            Xterm.print("различны\n", Xterm.Red);
            Xterm.print("и равны соответственно");
            Xterm.print(" " + y, Xterm.Red);
            Xterm.print(" и");
            Xterm.print(" " + z + "\n", Xterm.Red);
        }
    }
}

Иногда даже работа с казалось бы не слишком маленькими или огромными по абсолютной величине числами может привести к удивительным результатам. Рассмотрим задачу о решении квадратного уравнения.

Задача Напишите программу, вводящую действительные коэффициенты , и квадратного уравнения с положительным дискриминантом, находящую оба корня этого уравнения.

Вот вполне естественное решение этой задачи, которое может быть написано любым человеком, обладающим минимальными знаниями языка Java.

Текст программы

public class SquareEquation {
    public static void main(String[] args) throws Exception {    
        double a = Xterm.inputDouble("Введите число a -> ");
        double b = Xterm.inputDouble("Введите число b -> ");
        double c = Xterm.inputDouble("Введите число c -> ");

        if (a == 0.) {
            Xterm.println("Уравнение не квадратное", Xterm.Red);
            System.exit(0);
        }

        if (b*b - 4.*a*c <= 0.) {
            Xterm.println("Дискриминант неположителен", Xterm.Red);
            return;
        }

        double x1 = ( -b - Math.sqrt(b*b - 4.*a*c) ) / (2.*a);
        double x2 = ( -b + Math.sqrt(b*b - 4.*a*c) ) / (2.*a);

        Xterm.println("Корни уравнения:");
        Xterm.println("x1 = " + x1, Xterm.Blue);
        Xterm.println("x2 = " + x2, Xterm.Blue);
    }
}

Для извлечения квадратного корня здесь используется метод sqrt класса Math. Вызов метода System.exit и применение оператора return, которые в теле метода main почти эквивалентны и приводят к немедленному завершению выполнения программы, позволяет обойтись без ветви else оператора if-else. Остальная часть программы комментариев не требует.

Попробуйте, однако, выполнить эту программу при a=0.2E-16 и b=c=1.0 — первый корень уравнения x1 окажется равным -5.0E16, а второй x2 — нулю.

Если подставить эти значения в выражение , то и для x1 и для x2 его значение окажется равным единице, а не нулю. Подобная ошибка для первого, весьма большого по величине корня, представляется вполне естественной, но вот соглашаться с тем, что нуль является корнем данного уравнения, совсем не хочется. Этой проблеме посвящена одна из приведенных ниже задач.