Теорема 3.1. Существует единственная функция
из (14.18), определенная для всех задач о сделках,
задаваемых тройками (S,u*,v*) и удовлетворяющих
аксиомам (14.15)-(14.17), (14.19), (14.21), (14.22). При этом предполагается,
что хотя бы для одной пары (u,v) из замкнутого,
ограниченного и выпуклого множества S, входящего в определение задачи, справедливо (может быть
нестрогое) доминирование
![(u,v) \ge (u^\ast, v^\ast).](/sites/default/files/tex_cache/23de967e2fbbf9535f4d3e55de45a2df.png) |
(
15.1)
|
Доказательство теоремы опирается на следующие леммы.
Лемма 3.1. Если множество S содержит точку (u,v), такую, что
![u > u^\ast,\quad v > v^\ast,](/sites/default/files/tex_cache/b467c18dad86bcd93d9c94af64fcdcf6.png) |
(
15.2)
|
т.е. если доминирование (15.1)
является строгим, то функция
![g(u,v) = (u - u^\ast)(v - v^\ast)](/sites/default/files/tex_cache/4d265ef37eebe4af8863acd216170d8c.png) |
(
15.3)
|
достигает максимума на множестве
![S_0 = \{(u,v) \in S\colon u \ge u^\ast\}](/sites/default/files/tex_cache/7630061c8cc9c6ca2dcb2fcf796e5f65.png) |
(
15.4)
|
в единственной точке ![(u^\circ, v^\circ)](/sites/default/files/tex_cache/9862e54adab04a9071aa6597442e7c45.png)
.
Доказательство
Поскольку функция (15.3) является непрерывной, а непустое множество (15.4) -
ограниченным и замкнутым, то существует максимум
![g(u^\circ, v^\circ) = \max \{g(u,v)\colon (u,v) \in S_0\} > 0.](/sites/default/files/tex_cache/0f9867f67477fee1b8507e46699c3660.png) |
(
15.5)
|
Правое
неравенство в (15.5) является следствием условий (15.2)
и определений (15.3), (15.4).
Допустим, что существует еще одна точка (u',v'),
максимизирующая функцию g на S0. Тогда
![(u' - u^\ast)(v' - v^\ast) = (u^\circ - u^\ast)(v^\circ - v^\ast),](/sites/default/files/tex_cache/ded84f8417b45324c45a1847ff357482.png) |
(
15.6)
|
откуда, учитывая (15.2), получаем
отношение:
Поскольку точки
и
являются (по предположению) различными, то из (15.6) вытекают следствия:
![\begin{gathered}
u' < u^\circ \to v' > v^\circ,\\
u' > u^\circ \to v' < v^\circ.
\end{gathered}](/sites/default/files/tex_cache/d1a0423c9540da23e9776be6865cafba.png) |
(
15.7)
|
Из выпуклости множества S0 следует справедливость включения
Покажем, что для точки
![(\tilde{u}, \tilde{v})](/sites/default/files/tex_cache/5605d5b53a00cc558e4659168220efba.png)
имеет
место неравенство
![g(\tilde{u}, \tilde{v}) > g(u^\circ, v^\circ),](/sites/default/files/tex_cache/ed57bb00245eab81bd97094ef97776ed.png) |
(
15.8)
|
противоречащее определению точки
![(u^\circ, v^\circ)](/sites/default/files/tex_cache/9862e54adab04a9071aa6597442e7c45.png)
из (15.5), что доказывает единственность точки максимума функции
g.
Действительно,
откуда, согласно (15.6) и (15.7), следует справедливость утверждения (15.8),
противоречащего (15.5).
В дальнейшем мы покажем, что условия (15.5) определяют функцию
из (14.18),
и опишем графический прием для определения аргумента
из левой части (15.5).
Лемма 3.2. Пусть выполняются условия (15.2) и точка
удовлетворяет
определению (15.5). Тогда множество
лежит под прямой линией, определяемой уравнением
![h(u,v) = h(u^\circ,v^\circ),](/sites/default/files/tex_cache/6ac06820cb17bae6cf9b0cd5e6545441.png) |
(
15.9)
|
![h(u,v) = (v^\circ - v^\ast)u + (u^\circ - u^\ast)v,](/sites/default/files/tex_cache/ebdebac87196e01467e5545ab73b253b.png) |
(
15.10)
|
и касающейся множества S в точке ![(u^\circ, v^\circ)](/sites/default/files/tex_cache/9862e54adab04a9071aa6597442e7c45.png)
,
т.е.
Доказательство. Допустим, что прямая (15.9)
не является опорной для множества S в точке
.
Тогда существует такая точка
, что
![h(u', v') > h(u^\circ, v^\circ).](/sites/default/files/tex_cache/b333d79ca9c7515c77ccf00c61a41593.png) |
(
15.11)
|
Построим выпуклую линейную комбинацию:
которая принадлежит множеству
![S](/sites/default/files/tex_cache/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png)
в силу его выпуклости.
Поскольку
![(\tilde{u}, \tilde{v}) \to ({u}^\circ, v^\circ)](/sites/default/files/tex_cache/7b5feb231787420538ee04fdde216c9a.png)
при
![\varepsilon \to 0](/sites/default/files/tex_cache/872cdbfc3f22375ce0232baaad5caee6.png)
и, согласно правому неравенству
в (15.5),
![u^\circ > u^\ast](/sites/default/files/tex_cache/5b0fb479f4020802d1c4853b95a8ab6f.png)
, то при достаточно малых значениях
![\varepsilon > 0](/sites/default/files/tex_cache/d74ee6015ea3496d30f5596af4ffdeb0.png)
справедливо включение
![(\tilde{u}, \tilde{v}) \in S_0](/sites/default/files/tex_cache/1fd784450fcca22f377d9b37a483008e.png)
.
Теперь покажем, что при достаточно малых значениях
имеет место
неравенство
,
противоречащее определению (15.5). Действительно,
где, согласно (15.11), коэффициент при
![\varepsilon](/sites/default/files/tex_cache/f8b1c5a729a09649c275fca88976d8dd.png)
является положительным, а член, содержащий
![\varepsilon^2](/sites/default/files/tex_cache/6f003f9ca8cc092f10d093564b0699cf.png)
, -
пренебрежимо малым при
![\varepsilon \to 0](/sites/default/files/tex_cache/872cdbfc3f22375ce0232baaad5caee6.png)
.
Следовательно, прямая линия (15.9)
является опорной к множеству
S в точке
![(u^\circ, v^\circ)](/sites/default/files/tex_cache/9862e54adab04a9071aa6597442e7c45.png)
.