Пример 4.1 (планирование посевов).
Руководство сельскохозяйственного предприятия определяет вариант
использования имеющихся посевных площадей (100 га), пригодных для
выращивания двух типов зерновых культур. Урожайность этих культур
и ожидаемые цены (за один центнер) при различных вариантах возможных
погодных условий представлены в табл. 4.1.
Таблица
4.1.
Матрица H
|
Культуры: |
Матрица С
|
Культуры: |
Лето: |
1 |
2 |
Лето: |
1 |
2 |
Сухое |
8 |
2 |
Сухое |
5 |
8 |
Нормальное |
8 |
6 |
Нормальное |
5 |
6 |
Дождливое |
4 |
10 |
Дождливое |
6 |
4 |
Урожайность (ц/га) |
Цены (тыс.руб./ц |
Данные о затратах на проведение необходимых работ и о вероятной прибыли
(также в зависимости от погодных условий предстоящего лета) содержатся
в табл. 4.2. При этом прибыль aij,
которая ожидается от продажи урожая культуры j, выращенной в погодных
условиях i, определяется (в расчете на один гектар посевной площади) выражением
Таблица
4.2.
Матрица W
|
Культуры: |
Матрица A
|
Культуры: |
Лето: |
1 |
2 |
Лето: |
1 |
2 |
Сухое |
6 |
8 |
Сухое |
34 |
8 |
Нормальное |
4 |
3 |
Нормальное |
36 |
33 |
Дождливое |
4 |
3 |
Дождливое |
20 |
37 |
Затраты (тыс.руб./га) |
Прибыль (тыс.руб./ц |
Примем, что предприятие может одновременно засеять обе культуры, используя
для первой из них часть площадей, задаваемую долей x
,
а для второй - оставшуюся часть площадей, определяемую долей 1-x.
Тогда ожидаемая прибыль от продажи урожая обеих культур (в расчете на один
гектар используемой посевной площади) составит (как функция
параметра x и погодных условий) величину
При этом, в соответствии со значениями коэффициентов
матрицы
A из
табл. 4.2,
![E(1,x) & = 26x + 8,](/sites/default/files/tex_cache/ff6d511a4f766966d30098cd92553337.png) |
(
17.1)
|
![E(2,x) & = 3x + 33,](/sites/default/files/tex_cache/4f8ba2ce881f3930c3a5f7af591087d9.png) |
(
17.2)
|
![E(3,x) & = -17x + 37.](/sites/default/files/tex_cache/2e3c00bc828422fcf4cc709a4321f9a6.png) |
(
17.3)
|
Зависимости (17.1)-(17.3) представлены на рис. 4.1.
Приняв некоторый план использования посевных площадей, определяемый
параметром x,
, предприятие гарантирует себе ожидаемую (удельную) прибыль
![E(x) = \min\{E(i,x)\colon 1 \le i \le 3\},](/sites/default/files/tex_cache/c35715817d23aca3f359acf897adc35a.png) |
(
17.4)
|
которой соответствует (выделенная на
рис. 4.1
толстыми линиями) нижняя огибающая семейства кривых (17.1)-(17.3).
Согласно рисунку, стратегия
x*, максимизирующая
удельную
прибыль (17.4), является решением
уравнения
E(1,x)=E(3,x). При этом
x*=29/43
и
![E(x^\ast) \approx 25{,}53](/sites/default/files/tex_cache/48f37af2981617e58af7e736e1b198b5.png)
. Т.е. ожидаемая
прибыль,
соответствующая
минимаксной стратегии x*,
составляет (для всей посевной площади)
не менее
25,53 тыс. руб.
Напомним, что рассмотренный пример относится к задачам вида (1.17),
в которых есть лишь одна сторона, являющаяся
носителем интересов. Трудности выбора решений в таких задачах связаны
с тем, что исход операции зависит от некоторых неконтролируемых параметров,
значения которых влияют на исход операции, но не известны оперирующей
стороне. Эти параметры (их роль в рассмотренном выше примере играли
неизвестные погодные условия) обычно называют состояниями природы.
В связи с этим, обсуждаемый класс задач принятия решений в условиях
неопределенности определяют также как игры с природой.
При этом следует иметь в виду, что в любой конкретной операции
природа не является носителем чьих-либо интересов. Это обстоятельство
открывает определенные возможности для прогнозирования неизвестных
состояний природы (заметим, такие возможности обычно не могут быть
использованы для прогнозирования действий сторон, имеющих свои интересы в
операции).