ВКР |
Минимаксные критерии для задач с неизвестным априорным распределением
Рассмотрим случай, когда статистик руководствуется оценкой априорного
распределения (17.6), задаваемой вероятностью из
некоторого подынтервала
. Если при этом истинному распределению
соответствует значение
из того же подинтервала
,
то ожидаемые потери
, определяемые
функцией (18.26),
совпадают с байесовским
риском, поскольку значениям
и
соответствует одна и та же критическая
область Q1(i) из (18.17).
Возможно, однако, что истинное значение вероятности
появления первого состояния природы принадлежит другому интервалу
,
.
Тогда байесовскому критерию относительно этого
распределения соответствует другая критическая
область Q1(j) из (18.17) и,
следовательно, байесовский риск
определяется
выражением (18.21) при других
вероятностях ошибок первого и второго рода. Поэтому может случиться, что
ожидаемые потери
окажутся значительно больше
потерь
, соответствующих байесовскому риску. Более
того, они могут оказаться выше, чем максимально возможный байесовский риск
из (18.27). Именно такой случай представлен
на рис. 4.4.
Поэтому в случае неизвестного априорного распределения для состояний
природы, целесообразно использовать минимаксную стратегию, которая
гарантирует уровень ожидаемых потерь, не превышающий значения из (18.27).
В рассматриваемом классе задач такая стратегия может быть построена как
случайная смесь двух чистых стратегий. Эти чистые стратегии задаются
критическими областями Q1(i-1) и Q1(i). При этом
номер i соответствует точке , в которой
достигается максимум функции
, т.е.
. Указанным
областям Q1(i-1) и Q1(i) соответствуют функции
и
из (18.26), удовлетворяющие условиям
![]() |
( 19.1) |
![]() |
( 19.2) |
Пусть критическая область Q1(i-1) используется с
вероятностью , а область Q1(i) - с вероятностью
. Тогда
ожидаемые потери статистика определяются взвешенной суммой
![]() |
( 19.3) |
![\gamma^\circ](/sites/default/files/tex_cache/5d0ea3c51bc467538636ad16162ea913.png)
![0 < \gamma^\circ < 1](/sites/default/files/tex_cache/04667cdf6b1114aa121b299f3f4286c9.png)
![]() |
( 19.4) |
![\gamma^\circ](/sites/default/files/tex_cache/5d0ea3c51bc467538636ad16162ea913.png)
Подставим правую часть выражения (18.26)
во взвешенную сумму (19.3). В полученном выражении приравняем
к нулю коэффициент при и из этого равенства выведем формулу
для значения вероятности
, удовлетворяющего
условию (19.4):
![]() |
( 19.5) |
При этом
![]() |
( 19.6) |
В качестве иллюстрации укажем, что для функции байесовских потерь,
представленной на рис. 4.4, условие (19.2)
выполняется для значения i=3 и, согласно (19.5)
и (19.6), имеют место оценки и
.
Следовательно, минимаксная стратегия для примера,
характеризуемого данными из табл. 4.4,
обеспечивается равновероятным
использованием критических областей Q1(2)={z1,z2},
и Q1(3)= {z1,z2,z3}.
Замечание 4.4. Поскольку ,
то попадание выборочной точки z в критическую область Q1(i-1) ведет к отвержению
нуль-гипотезы независимо от того, какой из двух критериев будет выбран
рулеткой, соответствующей рассмотренной смешанной стратегии. Принятие
нуль-гипотезы при появлении любого исхода zj,
,
также не зависит от результата случайного выбора
критериев. Случайный выбор оказывается существенным лишь в случае, когда
исходом испытания является значение zi, поскольку
и
.
Поэтому естественно задавать процедуру случайного выбора с помощью набора условных распределений вида
![]() |
( 19.7) |
![\eta(1/z)](/sites/default/files/tex_cache/f9d95576e81059b8255aeef1d6600450.png)
![z](/sites/default/files/tex_cache/fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png)
![\eta(2/z)](/sites/default/files/tex_cache/28da8babe5eb5087799a00a808389f93.png)
![\eta_z](/sites/default/files/tex_cache/713db5231638c96685a7e261becba0e8.png)
![]() |
( 19.8) |
Как следует из вида распределений (19.8), фактический запуск случайного механизма необходим лишь в тех случаях, когда исход испытания совпадает с единственным значением zi.
Отметим еще одно обстоятельство. Как следует из (17.18)
и (17.20), байесовское решение относительно любого заданного
распределения достижимо в классе чистых
стратегий
. В случае, когда одна из
функций
из (18.26) удовлетворяет условию
и, следовательно1Равенства (19.9) являются следствием вогнутости
функции байесовского риска.,
![]() |
( 19.9) |
![Q_1(i)](/sites/default/files/tex_cache/83e5025e8bdcdb91a2cc5e3cb040a2be.png)