Алгоритмы нечеткого контроля и управления

В общем случае динамику дискретных систем можно представить уравнением состояния:

где — пространство состояний, — множество допустимых управлений, — переходная функция состояния, в общем случае нелинейная .

Эта система является детерминированной, если в любой момент времени можно однозначно определить ее новое состояние для момента времени по текущему состоянию l и управлению .

Для стохастических систем переходная функция записывается в виде

где — множество распределений вероятности на . Для учета неопределенностей в модель могут вводиться случайные величины или коэффициенты. Однако для подобных моделей необходимо иметь информацию для построения вероятностных распределений.

Не полностью определенные процессы можно моделировать с помощью аппарата нечетких множеств. Коэффициенты и некоторые величины могут быть заданы в виде функций принадлежности. Тогда динамика системы описывается нечетким отношением

представляющим собой нечеткое подмножество декартова произведения .

Величина рассматривается как интенсивность перехода или, точнее, как степень принадлежности элемента образу пары при отображении , т.е. основной характеристикой системы является функция принадлежности .

Используя понятие нечеткого отношения, можно ввести следующие пути определения функции :

1. Когда отсутствует модель процесса и имеется лишь лингвистическое описание желаемого поведения системы вида "если давление газа очень большое, то значительно увеличить расход". Подобные выражения дают информацию о том, что должно произойти в системе при поступлении на ее вход управляющих воздействий в форме нечетких множеств, определенных на универсальных множествах "давление газа" и "расход". Тогда нечеткое условное высказывание есть нечеткое отношение, которое определяется как

Если будет являться нечеткой функцией, то состояние нечеткой системы в момент времени есть условное по и нечеткое множество, характеризуемое функцией принадлежности .

2. Возможно использование имеющейся модели системы для задания функции . Рассмотрим вначале случай свободной динамики системы и построим рекуррентную процедуру оценки состояния динамической системы в нечетких условиях.

На практике ситуация усложняется частичным или полным отсутствием информации о статистических характеристиках шумов. Поэтому предлагается для решения задачи оценивания применять теорию нечетких множеств.

Рассмотрим нелинейную динамическую систему с дискретным временем:

для которой измерение и состояние системы связаны соотношением

В этих уравнениях:

• индекс соответствует -му моменту времени;
• , — нелинейные функции соответствующих аргументов;
• — состояние динамической системы,
• — нечеткая помеха, заданная для каждого момента времени -функцией принадлежности ;
• — ошибка измерения с известной функцией принадлежности .

Предполагается известной и функция принадлежности для начального состояния .

В процессе функционирования системы в общем случае носитель начального нечеткого состояния расширяется. Чтобы уменьшить неопределенность ситуаций при принятии решений, необходимо использовать дополнительную информацию о замерах и исследованиях в системе.

Будем предполагать независимость ошибок измерения, помех и состояния в смысле определения независимости нечетких величин. При заданной условной функции принадлежности состояния и при наличии последовательности измерений , наилучшая четкая оценка состояния в момент времени может быть найдена из соотношения

При наличии известной условной функции принадлежности оптимальная точечная оценка состояния системы в момент может быть определена аналогично:

Поскольку для реальных процессов функции и являются унимодальными, то процедура нахождения максимума довольно проста. Чтобы оценить состояния, выведем рекуррентную процедуру для функции принадлежности . На основании определения условной функции принадлежности можно записать, что

где вектор представлен в виде .

Используя определение и уравнение для ошибки измерения, получаем:

Окончательно рекуррентные соотношения для нахождения апостериорной функции принадлежности для нечеткого состояния системы на любом шаге ) можно записать следующим образом:

Рассмотрим теперь принципы управления нечеткой динамической системой для функции . Допустим, что на управляющее воздействие в каждый момент времени наложены нечеткие ограничения , характеризующиеся функцией принадлежности , и также задано начальное состояние . Пусть — нечеткая цель, которую необходимо достигнуть в момент времени . Эта цель характеризуется функцией принадлежности .

Оптимальные четкие управляющие воздействия могут быть определены следующим образом:

Функция может рассматриваться как функция принадлежности для нечеткой цели в момент времени , индуцированной конечной целью для момента . Зная текущее нечеткое состояние , нечеткое ограничение и индуцированную нечеткую цель , на момент времени можно найти эффективное четкое управление .