Нечеткая логика

Операции конъюнкции и дизъюнкции

Как отмечалось на предыдущих лекциях, операции конъюнкции и , введенные Заде, обладают почти всеми свойствами соответствующих булевых операций. Это позволяет легко обобщать для нечеткого случая многие понятия "четкой" логики. Однако с других точек зрения эти операции являются ограничительными. Возможность рассмотрения более "мягких" операций конъюнкции и дизъюнкции обсуждал еще Заде в своих первых работах.

Целесообразность применения тех или иных операций конъюнкции и дизъюнкции в нечеткой логике может рассматриваться с разных позиций в зависимости от области приложения нечеткой логики.

Во-первых, эти операции интересны с точки зрения моделирования лингвистических связок "и" и "или", используемых человеком. С одной стороны, операции и являются адекватными в порядковых шкалах, в которых обычно измеряются лингвистические оценки. Это обусловливает их широкое применение в нечетких лингвистических моделях. Однако, недостатком этих операций является то, что их результат равен значению одного операнда и не меняется при изменении значений второго операнда в определенном диапазоне величин. Например, для всех значений . Кроме того, в ряде экспериментальных работ было установлено, что операции и не являются достаточно удовлетворительными с точки зрения моделирования лингвистических связок. Это привело к появлению работ по разработке строго монотонных операций в порядковых шкалах, по настраиваемым на эксперта табличным операциям, а также стимулировало исследования по поиску новых операций конъюнкции и дизъюнкции.

Во-вторых, расширение класса операций конъюнкции и дизъюнкции было вызвано необходимостью построения достаточно общих математических моделей, которые могли бы с единых позиций рассматривать, например, вероятностные и многозначные логики, различные методы принятия решений, обработки данных и т.д. Подобное расширение произошло в результате введения в рассмотрение недистрибутивных операций конъюнкции и дизъюнкции, известных под названием -норм и -конорм.

Докажем, что условие дистрибутивности совместно с условиями монотонности и граничными условиями однозначно определяет операции Заде. Итак, пусть нам даны две операции и , удовлетворяющие следующим условиям:

1. Дистрибутивность:
   
2. Монотонность:
   
3. Граничные условия:
   

Из монотонности и граничных условий следует выполнение условий:

Далее выводится условие идемпотентности дизъюнкции:

И из

Аналогично выводится

Установлено, что именно условие дистрибутивности является наиболее жестким ограничением на возможную форму операций конъюнкции и дизъюнкции. Удаление этого свойства из множества аксиом устраняет единственность операций и и дает возможность совершать построения широкого спектра нечетких связок. Свойство дистрибутивности очень важно в логике, так как оно дает возможность совершать эквивалентные преобразования логических форм из дизъюнктивной в конъюнктивную форму и обратно. Оно активно используется в процедурах минимизации логических функций, в процедурах логического вывода на основе принципа резолюции и т.п. Однако, во многих задачах такие преобразования логических форм не являются необходимыми, и поэтому оказалось, что свойство дистрибутивности может быть "довольно безболезненно" удалено из системы аксиом, определяющих нечеткие операции конъюнкции и дизъюнкции. Основной аксиомой для них является ассоциативность, и свойства этих операций во многом определяются общими свойствами ассоциативных функций и операций, активно изучающихся в математике.

Простейшими примерами недистрибутивных операций являются следующие -нормы и -конормы:

(минимум),

(максимум),

(произведение),

(вероятностная сумма),

(t-норма Лукасевича),

(t-конорма Лукасевича),

(сильное произведение),

(сильная сумма).

Для любых -норм и -конорм выполняются следующие неравенства:

Таким образом, -нормы и являются минимальной и максимальной границами для всех -норм. Аналогично, -конормы являются минимальной и максимальной границами для всех -конорм. Эти неравенства очень важны для практического применения, так как они устанавливают границы возможного варьирования операций недистрибутивных конъюнкции и дизъюнкции.

В-третьих, рассмотрение логических операций конъюнкции и дизъюнкции как вещественных функций, являющихся компонентами нечетких моделей процессов и систем, естественно вызывает необходимость рассмотрения широкого класса таких функций, увеличивающих гибкость моделирования. По этим причинам, в ряде приложений нечеткой логики некоторые аксиомы -норм и -конорм также оказались ограничительными. В частности, параметрические классы данных операций имеют достаточно сложный вид, затрудняющий их аппаратную реализацию и оптимизацию нечетких моделей по параметрам этих операций. Сложность параметрических классов конъюнкций и дизъюнкций определяется способом генерации этих операций, который фактически определяется условием ассоциативности. С этой точки зрения свойство ассоциативности может рассматриваться как ограничительное. В то же время, свойство коммутативности операций конъюнкции и дизъюнкции может рассматриваться как необязательное ограничение на эти операции, так как в общем случае в нечетких моделях операнды данных операций могут характеризовать переменные, по-разному влияющие на результат. Свойства ассоциативности и коммутативности являются важными, например, в нечетких моделях многокритериального принятия решений, поскольку одним из разумных требований, накладываемых на процедуры принятия решений, является их независимость от порядка рассмотрения альтернатив и критериев. Но для систем нечеткого вывода эти свойства не всегда являются необходимыми, особенно когда позиции переменных в нечетких правилах и процедуры обработки правил фиксированы, а также когда число входных переменных не превышает двух, что бывает во многих реальных приложениях нечетких моделей. По этой причине из определения нечетких операций конъюнкции и дизъюнкции могут быть удалены свойства коммутативности и ассоциативности так же, как это было ранее сделано со свойствами дистрибутивности.

В качестве примера некоммутативных, неассоциативных операций дизъюнкции и конъюнкции можно привести следующие: