Нечеткие множества как способы формализации нечеткости

Для определения пересечения и объединения нечетких множеств наибольшей популярностью пользуются следующие три группы операций:

1. Максиминные:
   
2. Алгебраические:
   
3. Ограниченные:
   

Дополнение нечеткого множества во всех трех случаях определяется одинаково: .

Пример. Пусть — нечеткое множество "от 5 до 8" (рис.1.3а) и — нечеткое множество "около 4" (рис.1.3б), заданные своими функциями принадлежности:

Рис. 1.3.

Тогда, используя максиминные операции, мы получим множества, изображенные на рис.1.4.

увеличить изображение
Рис. 1.4.

Заметим, что при максиминном и алгебраическом определении операций не будут выполняться законы противоречия и исключения третьего , а в случае ограниченных операций не будут выполняться свойства идемпотентности и дистрибутивности:

Можно показать, что при любом построении операций объединения и пересечения в теории нечетких множеств приходится отбрасывать либо законы противоречия и исключения третьего, либо законы идемпотентности и дистрибутивности.

Носителем нечеткого множества называется четкое множество таких точек в , для которых величина положительна, т.е. .

Высотой нечеткого множества называется величина .

Нечеткое множество называется нормальным, если . В противном случае оно называется субнормальным.

Нечеткое множество называется пустым, если . Очевидно, что в данном универсуме существует единственное пустое нечеткое множество. Непустое субнормальное нечеткое множество можно привести к нормальному (нормализовать) по формуле

Множеством уровня ( - срезом ) нечеткого множества называется четкое подмножество универсального множества , определяемое по формуле

Множество строгого уровня определяется в виде . В частности, носителем нечеткого множества является множество элементов, для которых . Понятие множества уровня является расширением понятия интервала. Оно представляет собой объединение не более чем счетного числа интервалов. Соответственно, алгебра интервалов есть частный случай алгебры множеств уровня.

Точка перехода нечеткого множества — это такой элемент , для которого .

Четкое множество , ближайшее к нечеткому множеству , определяется следующим образом:

Нечеткое множество в пространстве называется выпуклым нечетким множеством тогда и только тогда, если его функция принадлежности выпукла, т.е. для каждой пары точек и из функция принадлежности удовлетворяет неравенству для любого .