НОУ ИНТУИТ | Алгебра матриц и линейные пространства. Лекция 4: Линейное пространство M

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 10.09.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 63 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Ассоциативность произведения матриц

Теорема 8.4.1 (об ассоциативности произведения матриц). Пусть

$\begin{align*} A & = (a_{ij})\in M_{r,m}(K),\\ B & = (b_{ij})\in M_{m,n}(K),\\ C & = (c_{ij})\in M_{n,p}(K). \end{align*}$

Тогда (AB)C=A(BC).

Первое доказательство. Пусть

$\begin{align*} U &= AB = (u_{ij})\in M_{r,n}(K),\\ V &= BC = (v_{ij})\in M_{m,p}(K),\\ S &= (AB)C = UC = (s_{ij})\in M_{r,p}(K),\\ T &= A(BC) = AV = (t_{ij})\in M_{r,p}(K). \end{align*}$

Так как

$u_{il}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kl},\quad v_{kj}=\sum_{l=1}^{n}b_{kl}c_{lj},$

то

$\begin{align*} s_{ij} &= \sum_{l=1}^{n} u_{il}c_{lj}= \sum_{l=1}^{n}\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kl}c_{lj},\\ t_{ij} &= \sum_{k=1}^{m}a_{ik}v_{kj}= \sum_{k=1}^{m}\sum_{l=1}^{n}a_{ik}b_{kl}c_{lj} \end{align*}$

для всех (i,j), и, следовательно, S=T.

Второе доказательство. Пусть в диаграмме

$\hat K^p \underset{C}{\overset{\cC}{\longrightarrow}} \hat K^n \underset{B}{\overset{\cB}{\longrightarrow}} \hat K^m \underset{A}{\overset{\cA}{\longrightarrow}} \hat K^r$

линейные преобразования A, B, C определены соответственно матрицами A, B, C. Тогда (в силу ассоциативности произведения отображений)

. Вычисляя матрицу этого линейного преобразования (по теореме о матрице произведения линейных преобразований), получаем, что (AB)C=A(BC).

Следствие 8.4.2. Квадратные $(n\times n)$ -матрицы M_n(K) относительно операции умножения являются моноидом (т. е. операция умножения определена на M_n(K), ассоциативна и обладает нейтральным элементом E=E_n ).

Теорема 8.4.3 (о дистрибутивности для матриц). Пусть

$\begin{gathe} A=(a_{ij}),B=(b_{ij})\in M_{m,n}(K);\\ C=(c_{ij})\in M_{r,m}(K);\quad D=(d_{ij})\in M_{n,p}(K). \end{gathe}$

Тогда

$\begin{align*} C(A+B) &= CA+CB \ \ \text{в}\ \ M_{r,n}(K),\\ (A+B)D &= AD+BD \ \ \text{в}\ \ M_{m,p}(K). \end{align*}$

Доказательство. Действительно, для любого места (i,j) имеем

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{m}c_{ik}(a_{kj}+b_{kj}) &= \sum_{k=1}^{m}c_{ik}a_{kj}+\sum_{k=1}^{m}c_{ik}b_{kj},\\ \sum_{l=1}^{n}(a_{il}+b_{il})d_{lj} &= \sum_{l=1}^{n}a_{il}d_{lj} +\sum_{l=1}^{n}b_{il}d_{lj}, \end{align*}$