НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию вероятностей. Лекция 3: Аксиоматика теории вероятностей

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 07.04.2008 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Новосибирский Государственный Университет

|

Вам нравится? Нравится 73 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

То же самое еще раз и подробно:

Определение 10. Пусть $\Omega$ - пространство элементарных исходов, $\mathcal F$ - $\sigma$ -алгебра его подмножеств (событий). Вероятностью или вероятностной мерой на $(\Omega,\,\mathcal F)$ называется функция $\mathsf P : \mathcal F \to \mathbb R$ , обладающая свойствами:

(P1) $\mathsf P(A)\ge 0$ для любого события $A\in\mathcal F;$

(P2) для любого счетного набора попарно несовместных событий $A_1,\,A_2,\,A_3,\,\ldots\in\mathcal F$ имеет место равенство

$\mathsf P\biggl(\,{\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i }\biggr)= \sum_{i{=}1}^\infty \mathsf P(A_i);$

(P3) вероятность достоверного события равна единице: $\mathsf P(\Omega)=1$ .

Свойства (P1) - (P3) называют аксиомами вероятности.

Определение 11. Тройка $\langle\Omega,\mathcal F, \mathsf P\rangle$ , в которой $\Omega$ - пространство элементарных исходов, $\mathcal F$ - $\sigma$ -алгебра его подмножеств и $\mathsf P$ - вероятностная мера на $\mathcal F$ , называется вероятностным пространством.

Докажем свойства вероятности, вытекающие из аксиом. Ниже мы не будем всякий раз оговаривать, что имеем дело только с событиями.

Теорема 8. Вероятность обладает следующими свойствами.

$\mathsf P(\emptyset)= 0$ .
Для любого конечного набора попарно несовместных событий $A_1,\, \ldots,\, A_n\in\mathcal F$ имеет место равенство:
$\mathsf P(A_1\cup\ldots\cup A_n)=\mathsf P(A_1)+\ldots+\mathsf P(A_n).$
$\mathsf P(\overline A)= 1-\mathsf P(A)$ .
Если $A\subseteq B$ , то $\mathsf P(B\setminus A)= \mathsf P(B)-\mathsf P(A)$ .
Если $A\subseteq B$ , то $\mathsf P(A)\le \mathsf P(B)$ (монотонность вероятности).
$\mathsf P(A\cup B)=\mathsf P(A)+\mathsf P(B)-\mathsf P(A\cap B)$ .
$\mathsf P(A_1\cup \ldots \cup A_n)\le \sum\limits_{i=1}^n\mathsf P(A_i)$ .
Формула включения-исключения
$\begin{multiline} \label{eq5} \qquad\mathsf P(A_1\cup \ldots \cup A_n)= \sum\limits_{i=1}^n\;\mathsf P(A_i)-\sum\limits_{i<j}\mathsf P(A_i A_j)~\ +\\ +\; \sum\limits_{i<j<m}\mathsf P(A_i A_j A_m)-\ldots +{(-1)}^{n-1} \mathsf P(A_1 A_2 \ldots A_n). \qquad \end{multiline}$ ( 3.1)

Доказательство.

События $A_1=\Omega$ , $A_i=\emptyset$ , где $i\geq 2$ , попарно несовместны, и их объединение есть $\Omega$ . По аксиоме (P2),
$1=\mathsf P(\Omega)=\sum_{i=1}^{\infty}\mathsf P(A_i)= 1+\sum_{i=2}^{\infty} \mathsf P(\emptyset).$
Это возможно только в случае $\mathsf P(\emptyset)=0$ .
Положим $A_i=\emptyset$ при любом . События $A_1,\, \ldots,\, A_n,\,\emptyset,\, \emptyset,\, \ldots$ попарно несовместны, и по аксиоме (P2),
$\mathsf P\biggl(\,{\textstyle\bigcup\limits_{i{=}1}^n A_i }\biggr)= \mathsf P\biggl(\,{\textstyle\bigcup\limits_{i{=}1}^\infty A_i} \biggr)= \sum_{i{=}1}^\infty \mathsf P(A_i)=\sum_{i{=}1}^n \mathsf P(A_i).$
Событие равно объединению двух несовместных событий: $B=A\cup(B{\mspace{2mu}{\setminus}\mspace{2mu}} A)$ . Согласно свойству 2, $\mathsf P(B)=\mathsf P(A)+\mathsf P(B{\mspace{2mu}{\setminus}\mspace{2mu}} A) \geq \mathsf P(A)$ .
Событие $A\cup B$ можно разложить в объединение двух несовместных событий $A\cup B = A \cup (B {\mspace{2mu}{\setminus}\mspace{2mu}} AB)$ , причем $AB \subseteq B$ . По свойствам 2 и 4 получим $\mathsf P(A\cup B)= \mathsf P(A)+\mathsf P(B{\mspace{2mu}{\setminus}\mspace{2mu}} AB) = \mathsf P(A)+\mathsf P(B)-\mathsf P(AB).\vphantom{a^a_a}$
При неравенство вытекает из свойства 6:
$\mathsf P(A\cup B)=\mathsf P(A)+\mathsf P(B)-\mathsf P(AB)\,\leq\, \mathsf P(A)+\mathsf P(B). \vphantom{a^a_a}$

Упражнение. Докажите свойство 7 и формулу (3.1) с помощью математической индукции.

Приведем пример задачи, в которой использование формулы включения-исключения - самый простой путь решения.

Пример 28. (задача о рассеянной секретарше) Есть писем и подписанных конвертов. Письма раскладываются в конверты наудачу по одному. Найти вероятность того, что хотя бы одно письмо попадет в предназначенный ему конверт.

Решение. Пусть событие A_i , $i=1,\,\ldots,\,n$ , означает, что -е письмо попало в свой конверт. Тогда

$A=\{\textit{хотя бы одно письмо попало в свой конверт}\}= A_1\cup\ldots\cup A_n.$

Cобытия A_1 , $\ldots$ , A_n совместны, поэтому используем формулу (3.1). По классическому определению вероятности вычислим вероятности всех событий A_i и их пересечений. Элементарными исходами будут всевозможные перестановки писем по конвертам. Их общее число есть $|\Omega|=n$ !, и событию A_i благоприятны (n-1) ! из них, а именно перестановки всех писем, кроме -го, лежащего в своем конверте. Поэтому $\mathsf P(A_i)=\frac{(n-1)!}{n!}=\frac{1}{n}$ - одна и та же для всех . Точно так же

$\mathsf P(A_i A_j)=\frac{(n-2)!}{n!}=\frac{1}{n(n-1)},\quad \mathsf P(A_i A_j A_m)=\frac{1}{n(n-1)(n-2)} \ \text{ и т.д.}$

Вычислим количество слагаемых в каждой сумме в формуле (3.1). Например, сумма по ${1\le i<j<m\le n}$ состоит из $C_{n}^{3}$ слагаемых - ровно столько троек индексов можно образовать из номеров событий. Подставляя все вероятности в формулу (3.1), получаем:

$\begin{multiple*} \mathsf P(A)&=&n\cdot\frac1n-C_n^2\cdot\frac{1}{n(n\,{-}\,1)}+ C_n^3\cdot\frac{1}{n(n\,{-}\,1)(n\,{-}\,2)}-\ldots+{(-1)}^{n-1}\frac{1}{n!} = \\ &=&1-\frac1{2!}+\frac1{3!}-\ldots+{(-1)}^{n-1}\frac{1}{n!}\,. \end{multiple*}$