НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию вероятностей. Лекция 3: Аксиоматика теории вероятностей

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 07.04.2008 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Новосибирский Государственный Университет

|

Вам нравится? Нравится 73 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Мера и вероятностная мера

Определение 8. Пусть $\Omega$ - некоторое непустое множество, $\mathcal F$ - $\sigma$ -алгебра его подмножеств. Функция $\mu : \mathcal F \to \mathbb R\cup\{+\infty\}$ называется мерой на $(\Omega,\,\mathcal F)$ , если она удовлетворяет условиям:

( $\mu 1$ ) ${\mu(A)\ge 0}$ для любого множества $A\in\mathcal F;$

( $\mu 2$ ) для любого счетного набора попарно непересекающихся множеств $A_1,\,A_2,\,A_3,\,\ldots\,\in\mathcal F$ (т.е. такого, что $A_i\cap A_j=\emptyset$ при всех $i\neq j$ ) мера их объединения равна сумме их мер:

$\mu\biggl(\,\bigcup_{i=1}^\infty A_i \biggr)=\sum_{i=1}^\infty \mu(A_i)$

("счетная аддитивность" или " $\sigma$ -аддитивность" меры).

Упражнение. Зачем в свойстве ( $\mu 2$ ) требуется, чтобы события не пересекались? Может ли какая-нибудь функция $\mu\,:\,\mathcal F\to\mathbb R$ удовлетворять свойству $\mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B)$ при любых событиях и ? Привести пример такой функции и доказать, что других не существует.

Упражнение. Указать область определения и область значений функции $\mu$ . Для каких $A\subset \Omega$ определено значение $\mu(A)$ ?

Пример 25. Пусть $\Omega=\{a,\,b,\,c\}$ , $\mathcal F=2^\Omega$ - множество всех подмножеств $\Omega$ . Зададим меру $\mu$ на $\mathcal F$ так: $\mu\{a\}=3$ , $\mu\{b\}=17$ , $\mu\{c\}=1$ , $\mu\{a,\,b\}=20$ , $\mu\{a,\,c\}=4$ , $\mu\{b,\,c\}=18$ , $\mu\{a,\,b,\,c\}=21$ , $\mu(\emptyset)=0$ . Для краткости записи мы вместо $\mu(\{a\})$ писали всюду $\mu\{a\}$ .

Пример 26. Пусть $\Omega=\mathbb N$ , $\mathcal F=2^\mathbb N$ - множество всех подмножеств натурального ряда. Зададим меру $\mu$ на $\mathcal F$ так: $\mu(A)=|A|$ - число элементов в множестве (бесконечность, если множество бесконечно).

Пример 27. (мера Лебега) Когда мы говорили о геометрической вероятности, мы использовали термин "мера области в $\mathbb R^m$ ", имея в виду "длину" на прямой, "площадь" на плоскости, "объем" в трехмерном пространстве. Являются ли все эти "длины-площади-объемы" настоящими мерами в смысле определения 8? Мы решим этот вопрос для прямой, оставляя плоскость и пространство большей размерности читателю.

Замечание Если вам уже расхотелось читать дальше, сообщаем: мерой Лебега в задачниках и учебниках называют как раз "длину-площадь-объем", так что все в порядке, дальнейшее до определения вероятности можно смело пропустить.

Рассмотрим вещественную прямую с $\sigma$ -алгеброй борелевских множеств. Эта $\sigma$ -алгебра, по определению, есть наименьшая $\sigma$ -алгебра, содержащая все интервалы. Для каждого интервала $(a,\,b)$ число b-a назовем длиной интервала $(a,\,b)$ .

Мы не станем доказывать следующее утверждение:

Теорема 6. Существует единственная мера $\lambda$ на $(\mathbb R,\,\mathfrak B (\mathbb R))$ , значение которой на любом интервале равно его длине: $\lambda(a,\,b)={b-a}$ . Эта мера называется мерой Лебега.

Нам пригодится свойство, которым обладает любая мера. Это свойство непрерывности меры иногда называют аксиомой непрерывности, имея в виду, что ею можно заменить ( $\mu$ 2) в определении 8.

Теорема 7 (свойство непрерывности меры). Пусть дана убывающая последовательность $B_1\supseteq B_2 \supseteq B_3\supseteq \ldots$ множеств из $\mathcal F$ , причем $\mu(B_1)<\infty$ . Пусть $B=\bigcap\limits_{n=1}^\infty B_n$ . Тогда $\mu(B)=\lim\limits_{n\to\infty}\mu(B_n)$ .

Доказательство. Обозначим через C_n кольца: $C_n=B_n\setminus B_{n+1}$ . Множества , C_1 , C_2 , $\ldots$ попарно не пересекаются. Тогда из представлений

$\textstyle B_1=B\cup\biggl(\,\bigcup\limits_{i=1}^{\smash{\infty}} C_i\biggr), \quad \textstyle B_n=B\cup\biggl(\,\bigcup\limits_{i=n}^{\smash{\infty}} C_i\biggr)$

вытекают, в силу аксиомы ( $\mu$ 2), соответствующие равенства и для мер:

$\mu(B_1)=\mu(B)+\sum\limits_{i=1}^\infty \mu(C_i), \qquad \mu(B_n)=\mu(B)+\sum\limits_{i=n}^\infty \mu(C_i).$

Первая сумма $\sum\limits_{i=1}^\infty \mu(C_i)$ в силу условия $\mu(B_1)<\infty$ , есть сумма абсолютно сходящегося ряда (составленного из неотрицательных слагаемых). Из сходимости этого ряда следует, что "хвост" ряда, равный как раз $\sum\limits_{i=n}^\infty \mu(C_i)$ , стремится к нулю при $n\to\infty$ . Поэтому

$\qquad\mu(B_n)=\mu(B)+\sum\limits_{i=n}^\infty \mu(C_i)\, \mathop{\longrightarrow}\limits_{n\to\infty}\, \mu(B)+0=\mu(B). \qquad$

В полезности этого свойства легко убедиться упражнениями. Упражнение. Используя аксиому непрерывности меры для убывающей последовательности множеств $B_n=(x-1/n,\,x+1/n)$ , доказать, что мера Лебега одноточечного подмножества $\{x\}$ вещественной прямой равна нулю: $\lambda\,\{x\}=0$ . Используя этот факт, доказать, что $\lambda\,(\mathbb N)=0$ , $\lambda\,(\mathbb Z)=0$ , $\lambda\,(\mathbb Q)=0$ , $\lambda\,(a,\,b)=\lambda\,[\,a,\,b\,]$ .

Замечание. В отсутствие предположения $\mu(B_1)<\infty$ свойство $\mu(B)=\lim\limits_{n\to\infty}\mu(B_n)$ может не выполняться.

Например, зададим меру на $\mathfrak B (\mathbb R)$ так: $\mu(B)=0$ , если не более чем счетно, иначе $\mu(B)=\infty$ . Тогда для множеств $B_n=(x-1/n,\,x+1/n)$ имеем:

$B=\textstyle\bigcap\limits_{n=1}^\infty B_n=\{x\}, \quad \mu(B_n)=\infty \not\to \mu(B)=0.$

Наконец, мы в состоянии определить понятие вероятности как нормированной меры.

Определение 9. Пусть $\Omega$ - непустое множество, $\mathcal F$ - $\sigma$ -алгебра его подмножеств. Мера $\mu : \mathcal F \to\mathbb R$ называется нормированной, если $\mu(\Omega)=1$ . Другое название нормированной меры - вероятность.

Дальше >>

Введение в теорию вероятностей

Введение в теорию вероятностей

Аксиоматика теории вероятностей

Мера и вероятностная мера

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Введение в теорию вероятностей

Введение в теорию вероятностей

Аксиоматика теории вероятностей

Мера и вероятностная мера

Вопросы и ответы

Студенты