НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию вероятностей. Лекция 7: Основные семейства распределений

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 07.04.2008 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Новосибирский Государственный Университет

|

Вам нравится? Нравится 73 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: Основные дискретные и абсолютно непрерывные распределения: вырожденное, Бернулли, биномиальное, геометрическое, Пуассона, гипергеометрическое, равномерное, показательное, нормальное, гамма, Коши, Парето

Примеры дискретных распределений

Вырожденное распределение. Говорят, что случайная величина $\xi$ имеет вырожденное распределение в точке $c\in\mathbb R$ , и пишут: $\xi{\,\sim\,} \mathrm I_c$ , если $\xi$ принимает единственное значение с вероятностью 1, т.е. $\Prob(\xi=c)=1$ . Функция распределения $\xi$ имеет вид

$F_\xi(x)=\Prob(\xi&<x)=\Prob(c&<x)=\begin{cases} 0, & \text{если } x\le c, \cr 1, & \text{если } x>c. \end{cases}$

Распределение Бернулли. Говорят, что случайная величина $\xi$ имеет распределение Бернулли с параметром , и пишут: $\xi{\,\sim\,} {\mathrm B}_p$ , если $\xi$ принимает значения и с вероятностями и 1-p соответственно. Случайная величина $\xi$ с таким распределением равна числу успехов в одном испытании схемы Бернулли с вероятностью успеха : ни одного успеха или один успех. Таблица распределения $\xi$ имеет вид:

$\begin{tabular}{l|c|c} $\xi$ & 0 & 1 \cr \hline $\Prob\vphantom{b^b}$ & $1-p$ &$p$ \end{tabular}\,.$

Функция распределения случайной величины $\xi$ такова:

$F_\xi(x)=\Prob(\xi<x)=\begin{cases} 0, & \text{если } x\le 0, \cr 1-p, & \text{если } 0<x\le 1, \cr 1, & \text{если } x>1. \end{cases}$

Биномиальное распределение. Говорят, что случайная величина $\xi$ имеет биномиальное распределение с параметрами $n\in \mathbb N$ и $p\in(0,\,1)$ , и пишут: $\xi{\,\sim\,} {\mathrm B}_{n,p}$ , если $\xi$ принимает значения $k=0,\,1,\,\dots,\,n$ с вероятностями $\Prob(\xi=k)=C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$ . Случайная величина с таким распределением имеет смысл числа успехов в испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха . Таблица распределения $\xi$ имеет вид

$\begin{tabular}{l|c|c|c|c|c|c} $\xi$ & 0 & 1 & \ldots & $k$ & \ldots & $n$ \\ \hline $\Prob\vphantom{\int^b}$ & $(1-p)^n$ & $np(1-p)^{n-1}$ & \ldots & $C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$ & \ldots & $p^n$ \end{tabular}\,.$

Например, количество выпавших шестерок при двадцати подбрасываниях правильной игральной кости имеет биномиальное распределение ${\mathrm B}_{20, \frac16}$ . Распределение Бернулли совпадает с распределением ${\mathrm B}_{1, p}$ .

Геометрическое распределение. Говорят, что случайная величина $\tau$ имеет геометрическое распределение с параметром $p\in(0,\,1)$ , и пишут $\tau \sim {\mathrm G}_p$ , если $\tau$ принимает значения $k=1,\,2,\,3,\,\dots$ с вероятностями ${\Prob(\tau=k)}=p (1-p)^{k-1}$ . Случайная величина с таким распределением имеет смысл номера первого успешного испытания в схеме Бернулли с вероятностью успеха . Таблица распределения $\tau$ имеет вид

$\begin{tabular}{l|c|c|c|c|c} $\tau$ & 1 & 2 & \ldots & $k$ & \ldots \\ \hline $\Prob\vphantom{\int^b}$ & $p$ & $p(1-p)$ & \ldots & $p(1-p)^{k-1}$ & \ldots \end{tabular}\,.$

Распределение Пуассона. Говорят, что случайная величина $\xi$ имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda>0$ , и пишут: $\xi{\,\sim\,} \mathrm \Pi_{\lambda}$ , если $\xi$ принимает значения $k=0,\,1,\,2,\,\dots$ с вероятностями $\Prob(\xi=k)=\frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}$ . Таблицу распределения $\xi$ читатель может нарисовать самостоятельно.

Распределение Пуассона возникло в теореме Пуассона как предельное распределение для числа успехов в испытаниях схемы Бернулли, когда число испытаний увеличивается, а вероятность успеха уменьшается обратно пропорционально . Поэтому распределение Пуассона называют иначе распределением числа редких событий.

Гипергеометрическое распределение. Говорят, что случайная величина $\xi$ имеет гипергеометрическое распределение с параметрами , и , где $K \le N$ , $n \le N$ , если $\xi$ принимает целые значения такие, что ${0\le k\le K}$ , $0\le n-k\le N-K$ , с вероятностями $\Prob(\xi=k)={C_K^k C_{N-K}^{n-k}}\,/\,{C_N^n}$ . Случайная величина с таким распределением имеет смысл числа белых шаров среди шаров, выбранных наудачу и без возвращения из урны, содержащей белых шаров и N-K не белых.

Упражнение. Построить графики функций распределения для вырожденного распределения, распределений Бернулли и Пуассона, биномиального и геометрического распределений.

Дальше >>

Введение в теорию вероятностей

Введение в теорию вероятностей

Основные семейства распределений

Примеры дискретных распределений

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Введение в теорию вероятностей

Введение в теорию вероятностей

Основные семейства распределений

Примеры дискретных распределений

Вопросы и ответы

Студенты