НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию вероятностей. Лекция 5: Схема Бернулли

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 07.04.2008 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Новосибирский Государственный Университет

|

Вам нравится? Нравится 73 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: Схема Бернулли. Формула Бернулли для распределения числа успехов. Распределение номера первого успешного испытания. Полиномиальное распределение в схеме независимых испытаний с несколькими исходами. Предельная теорема Пуассона для схемы Бернулли

Ключевые слова: место, равенство, вероятность, ПО, пересечение, испытание, грани, Исход, испытание Бернулли, определение, замечательный предел, Распределение Пуассона, значение, произвольное, погрешность

Распределение числа успехов в n испытаниях

Определение 16. Схемой Бернулли называется последовательность независимых в совокупности испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода - "успех" и "неудача", при этом успех в одном испытании происходит с вероятностью $p\in (0,\,1)$ , а неудача - с вероятностью q=1-p .

Под независимостью в совокупности испытаний понимается независимость в совокупности любых событий, относящихся к разным испытаниям. В испытаниях схемы Бернулли, когда с одним испытанием можно связать только два взаимоисключающих события, независимость в совокупности испытаний означает, что при любом независимы в совокупности события $A_1=\{$ успех в первом испытании $\},\, \dots,\, A_{n}=\{$ успех в -м испытании $\}$ . Эти события принадлежат одному и тому же пространству элементарных исходов, полученному декартовым произведением бесконечного числа двухэлементных множеств $\{\textit{у,\,н\/}\}$ :

$\Omega=\{(a_1,\,a_2,\,\ldots\,) {\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}} a_i\in\{\textit{у,\,н\/}\}\}.$

Здесь буквами "у" и "н" обозначены успешный и неудачный результаты испытаний соответственно.

Обозначим через $\nu_n$ число успехов, случившихся в испытаниях схемы Бернулли. Эта величина может принимать целые значения от нуля до в зависимости от результата испытаний. Например, если все испытаний завершились неудачей, то величина $\nu_n$ равна нулю.

Теорема 13 (формула Бернулли). При любом $k=0,\,1,\,\ldots,\,n$ имеет место равенство:

$\Prob(\nu_n=k)=C^k_n p^k q^{n-k}.$

Доказательство. Событие $A=\{\nu_n=k\}$ означает, что в испытаниях схемы Бернулли произошло ровно успехов. Рассмотрим один из благоприятствующих событию элементарных исходов:

$(\underbrace{\textit{у,\, у,\, \ldots,\, у}}_k ,\, \underbrace{\textit{н,\,н,\, \ldots,\, н}}_{n-k}),$

когда первые

испытаний завершились успехом, остальные неудачей. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода равна $p^k q^{n-k}$ . Другие благоприятствующие событию

элементарные исходы отличаются лишь расположением

успехов на

местах. Есть ровно C_n^k

способов расположить

успехов на

местах. Поэтому событие

состоит из C_n^k

элементарных исходов, вероятность каждого из которых также равна $p^k q^{n-k}$ .

Определение 17. Набор чисел $\bigl\{C_n^k p^k q^{n-k},\, k=0,\,1,\,\dots,\,n\bigr\}$ называется биномиальным распределением вероятностей.

Номер первого успешного испытания

Рассмотрим схему Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании. Введем величину $\tau$ со значениями $1,\,2,\,3,\,\dots$ , равную номеру первого успешного испытания.

Теорема 14. Вероятность того, что первый успех произойдет в испытании с номером $k\in\mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}$ , равна $\Prob(\tau=k)=p\mspace{2mu}q^{k-1}$ .

Доказательство. Вероятность первым k-1 испытаниям завершиться неудачей, а последнему - успехом, равна

$\qquad \Prob(\tau=k)=\Prob (\textit{н,\, \dots,\, н},\,\textit{ у})=p\mspace{2mu}q^{k-1}. \qquad$

Определение 18. Набор чисел $\{p\mspace{2mu}q^{k-1},\, k=1,\,2,\,3,\,\dots\}$ называется геометрическим распределением вероятностей.

Геометрическое распределение вероятностей обладает интересным свойством, которое можно назвать свойством "нестарения".

Теорема 15. Пусть $\Prob(\tau=k)=p\mspace{2mu}q^{k-1}$ для любого $k\in\mathbb N$ . Тогда для любых неотрицательных целых и имеет место равенство:

$\Prob(\tau>n+k {\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}} \tau>n) = \Prob(\tau>k).$

Если, например, считать величину $\tau$ временем безотказной работы (измеряемым целым числом часов) некоторого устройства, то данному равенству можно придать следующее звучание: вероятность работающему устройству проработать еще сколько-то часов не зависит от того момента, когда мы начали отсчет времени, или от того, сколько уже работает устройство. Общепринятое название этого свойства - свойство отсутствия последействия.

Доказательство. По определению условной вероятности,

$\begin{equation} \Prob(\tau>n+k {\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}} \tau>n)=\frac{\Prob(\tau>n+k,\, \tau>n)}{\Prob(\tau>n)}= \frac{\Prob(\tau>n+k)}{\Prob(\tau>n)}. \end{equation}$

( 5.1)

Последнее равенство следует из того, что событие $\{\tau>n+k\}$ влечет событие $\{\tau>n\}$ , поэтому пересечение этих событий есть $\{\tau>n+k\}$ . Найдем для целого $m\ge 0$ вероятность $\Prob(\tau>m)$ :

$\Prob(\tau>m)=\sum_{i=m+1}^\infty \Prob(\tau=i)= \sum_{i=m+1}^\infty p q^{i-1}=\frac{ p q^m}{1-q}=q^m.$