НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию вероятностей. Лекция 11: Числовые характеристики зависимости

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 07.04.2008 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Новосибирский Государственный Университет

|

Вам нравится? Нравится 73 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: Ковариация двух случайных величин и ее свойства. Коэффициент корреляции и его свойства

Ключевые слова: дисперсия, индикатор, ПО, значение, числитель, математическим ожиданием, коэффициент корреляции, длина, случайная величина, неравенство, равенство, модуль, место, координаты, грани, Распределение Бернулли, вероятность, Произведение, биномиальное распределение

Ковариация двух случайных величин

Мы знаем, что для независимых случайных величин с конечными вторыми моментами дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий. В общем случае дисперсия суммы равна

$\begin{equation} {\mathsf D\,}(\xi+\eta) ={\mathsf D\,}\xi+{\mathsf D\,}\eta + 2\bigl({\mathsf E\,}(\xi\eta)-{\mathsf E\,}\xi\,{\mathsf E\,}\eta\,\bigr). \end{equation}$

( 18)

Величина ${\mathsf E\,}(\xi\eta)-{\mathsf E\,}\xi\,{\mathsf E\,}\eta$ равняется нулю, если случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы (свойство (E7) математического ожидания). С другой стороны, из равенства ее нулю вовсе не следует независимость, как показывают примеры 50 и 51. Эту величину используют как "индикатор наличия зависимости" между двумя случайными величинами.

Определение 39. Ковариацией ${{\rm cov}}(\xi,\,\eta)$ случайных величин $\xi$ и $\eta$ называется число ${{\rm cov}}(\xi,\,\eta)={\mathsf E\,}\bigl((\xi-{\mathsf E\,}\xi)(\eta-{\mathsf E\,}\eta)\bigr)$ .

Свойство 18. Справедливы равенства: ${{\rm cov}}(\xi,\,\eta)={\mathsf E\,}(\xi\eta)-{\mathsf E\,}\xi\,{\mathsf E\,}\eta;$ ${{\rm cov}}(\xi,\,\xi)={\mathsf D\,}\xi;$ ${{\rm cov}}(\xi,\,\eta)={{\rm cov}}(\eta,\,\xi);$ ${{\rm cov}}(c\cdot\xi,\,\eta)=c\cdot{{\rm cov}}(\xi,\,\eta)\vphantom{\int_{b_b}}$ .

Непосредственным возведением суммы в квадрат проверяется следующее свойство.

Свойство 19. Дисперсия суммы нескольких случайных величин вычисляется по любой из следующих формул:

${\mathsf D\,}(\xi_1+\ldots+\xi_n) &=& \sum\limits_{i=1}^n{\mathsf D\,}\xi_i + \sum\limits_{i\ne j}{{\rm cov}}(\xi_i,\xi_j) = \\ &=&\sum\limits_{i=1}^n{\mathsf D\,}\xi_i + 2\sum\limits_{i < j}{{\rm cov}}(\xi_i,\xi_j) = \sum\limits_{i,j}{{\rm cov}}(\xi_i,\xi_j).$

Обсудим достоинства и недостатки ковариации, как величины, характеризующей зависимость двух случайных величин.

Если ковариация ${{\rm cov}}(\xi,\,\eta)$ отлична от нуля, то величины $\xi$ и $\eta$ зависимы. Чтобы судить о наличии зависимости согласно любому из определений независимости, требуется знать совместное распределение пары $\xi$ и $\eta$ . Но найти совместное распределение часто бывает сложнее, чем посчитать математическое ожидание произведения $\xi$ и $\eta$ . Если нам повезет, и математическое ожидание $\xi\eta$ не будет равняться произведению их математических ожиданий, мы установим зависимость $\xi$ и $\eta$ не находя их совместного распределения. Это очень хорошо.

Пример 65. Покажем, что с помощью ковариации можно судить о зависимости даже тогда, когда для вычисления совместного распределения недостаточно данных. Пусть $\xi$ и $\eta$ - независимые случайные величины и дисперсия $\xi$ отлична от нуля. Покажем, что $\xi$ и $\xi+\eta$ зависимы:

${\mathsf E\,}\bigl(\xi(\xi+\eta)\bigr)={\mathsf E\,}\xi^2+{\mathsf E\,}\xi\,{\mathsf E\,}\eta, \qquad {\mathsf E\,}\xi\,{\mathsf E\,}(\xi+\eta)={({\mathsf E\,}\xi)}^2+ {\mathsf E\,}\xi\,{\mathsf E\,}\eta.$

Вычитая одно из другого, получим ${{\rm cov}}(\xi,\xi+\eta)={\mathsf D\,}\xi>0$ . Следовательно, $\xi$ и $\xi+\eta$ зависимы.

Упражнение. Доказать, что $\xi$ и $\xi+\eta$ независимы, если ${\mathsf D\,}\xi=0$ .

Величина ${{\rm cov}}(\xi,\,\eta)$ не является "безразмерной": если $\xi$ - объем газа в сосуде, а $\eta$ - давление этого газа, то ковариация измеряется в ${\textrm{м}^3{\times}\,\textrm{Па}}$ . Иначе говоря, при умножении $\xi$ или $\eta$ на 100 ковариация тоже увеличится в 100 раз. Но от умножения на 100 величины не стали "более зависимыми", так что большое значение ковариации не означает более сильной зависимости. Это очень плохо.

Нужно как-то нормировать ковариацию, получив из нее "безразмерную" величину, абсолютное значение которой:

не менялось бы при умножении случайных величин на число;
свидетельствовало бы о "силе зависимости" случайных величин.

Замечание Говоря о "силе" зависимости между случайными величинами, мы имеем в виду следующее. Самая сильная зависимость - функциональная, а из функциональных - линейная зависимость, когда $\xi=a\eta+b$ п.н. Бывают гораздо более слабые зависимости. Так, если по последовательности независимых случайных величин $\xi_1,\,\xi_2,\,\dots$ построить величины $\xi=\xi_1+\ldots+\xi_{24}+\xi_{25}$ и $\eta=\xi_{25}+\xi_{26}+\ldots+\xi_{90}$ , то эти величины зависимы, но очень "слабо": через единственное общее слагаемое $\xi_{25}$ . Сильно ли зависимы число гербов в первых подбрасываниях монеты и число гербов в испытаниях с -го по -е?