Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 10.09.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3985 / 727 | Оценка: 4.33 / 3.93 | Длительность: 13:22:00
Тема: Математика
Специальности: Математик
Теги:
Лекция 8:
Линейные подпространства линейных пространств
Решетка подпространств линейного пространства
Рассмотрим частично упорядоченное множество всех линейных подпространств U линейного пространства K V:
![L({}_K V) = \{U\mid U\subseteq {}_K V\},](/sites/default/files/tex_cache/52a4ab4780e2cd074379f537f912b95c.png)
![U_1 \leq U_2](/sites/default/files/tex_cache/761c40844d2f9f7f7f48b7a7511e4d1a.png)
![U_1\subseteq U_2](/sites/default/files/tex_cache/8857a46c3cd19de01ea75935df14c56c.png)
![U_1,U_2\in L({}_K V)](/sites/default/files/tex_cache/dea1fa3bfa98547642d8a32aa8d268fa.png)
![U_1\vee U_2=U_1+U_2](/sites/default/files/tex_cache/8966fc8fb084b07b052971e398edab7f.png)
![U_1\wedge U_2=U_1\cap U_2](/sites/default/files/tex_cache/0c4d55dcd9396ff1366091ead0401e99.png)
![L({}_K V)](/sites/default/files/tex_cache/a0d5ff0782598c0af87937c80a51a7d2.png)
![L({}_K V)](/sites/default/files/tex_cache/a0d5ff0782598c0af87937c80a51a7d2.png)
![U\in L({}_K V)](/sites/default/files/tex_cache/5bcb64cbbc69037c8d7536382d2117e6.png)
![W\in L({}_K V)](/sites/default/files/tex_cache/7d7682dbc16c8eadda37e68d666a6611.png)
![U\vee W=V](/sites/default/files/tex_cache/afd468ae9e5f8cd9dc2b6df97bb6f59a.png)
![U\wedge W=\{0\}](/sites/default/files/tex_cache/4b36c7b0e3428e38a8498bcb2cee22ce.png)
Теорема 9.14.1. В решетке выполнено следующее модулярное тождество Дедекинда: если
,
, то
![X+(Y\cap Z) = (X+Y)\cap Z.](/sites/default/files/tex_cache/8fade42e41036d8d4dd156284afdb12c.png)
- 1) Пусть
, где
,
, тогда
, и поэтому
;
,
, и следовательно,
; итак,
.
- 2) Пусть
, z=x+y, где
,
. Тогда
, поскольку
, и поэтому
.
Замечание 9.14.2. Если , то в
не выполняется тождество дистрибутивности
![(X+Y)\cap Z=(X\cap Z)+(Y\cap Z).](/sites/default/files/tex_cache/76fc88aa3a87fccb6808ce3f41f71171.png)
![\begin{gathe}
X+Y={}_K V=K^2,\quad X\cap Z=\{0\},\quad Y\cap Z=\{0\},\\
(X+Y)\cap Z=Z\neq \{0\} = (X\cap Z)+(Y\cap Z).
\end{gathe}](/sites/default/files/tex_cache/12e6fb75dd99f050ae66366a297e0f7f.png)
Замечание 9.14.3. Итак, мы убедились в том, что решетка всех линейных подпространств линейного пространства K V является модулярной (дедекиндовой) решеткой с дополнениями.