НОУ ИНТУИТ | Моделирование систем. Лекция 5: Исследование качества генераторов случайных чисел

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Мордовский государственный университет имени Н.П. Огарева

Опубликован: 30.11.2010 | Доступ: свободный | Студентов: 3337 / 2035 | Оценка: 4.12 / 4.13 | Длительность: 14:37:00

ISBN: 978-5-9963-0352-6

Темы: Программирование, Алгоритмы и дискретные структуры

Специальности: Программист, Системный архитектор

|

Вам нравится? Нравится 32 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

1.4. Исследование качества ГСЧ, сформированного по линейному конгруэнтному методу

Формирование случайных (псевдослучайных) чисел по линейному конгруэнтному методу основывается на следующем рекуррентном соотношении:

$R_{k+1}=(a R_k+c)(mod\mbox{ }M),\qqard k=0,1,...$

( 5.1)

где:

$R_{k+1}$ — вновь формируемое число;

— множитель (мультипликативная константа);

$R_{k}$ — предыдущее число ( $R_{0}$ — назначаемое число);

— приращение (инкремент);

mod — модуль, бинарная операция для обозначения остатка от деления двух чисел;

— целочисленная константа [19]. Для -разрядных целых чисел $M=2^{n}$ . В самом простом случае принимается, что c=0 Массив случайных чисел ${x_{i}}$ из интервала (0,1) будет формироваться следующим образом:

$\{x_i\}=\{R_i\}/M,$

( 5.2)

где $R_{i}$ — числа, определяемые по формуле (5.1).

В стандартной процедуре реализации линейного конгруэнтного метода (5.1) принимается, что a,c,M — целые положительные числа. Приведем определение конгруэнтности двух чисел и : два числа и конгруэнтны (сравнимы) по модулю числа , если они дают одинаковые остатки при делении на этот модуль . Таким образом, по формуле (5.1) число $R_{k+1}$ будет конгруэнтно по модулю числу $(aR_{k}+c)$ .

При выборе чисел a,c,M придерживаются следующих правил:

— должны быть взаимно простыми числами. Причем число определяет собой период числовой псевдослучайной последовательности: чем больше , тем длиннее последовательность псевдослучайных чисел;
кратно для любого простого , являющегося делителем .

В качестве множителя рекомендуется принимать первообразный корень по модулю . Приведем следующее классическое определение.

Первообразный корень по модулю — натуральное число , такое, что наименьшее положительное число , для которого разность $g^{k}-1$ делится на (без остатка), совпадает с $\varphi(M)$ , где $\varphi(M)$ — число натуральных чисел, меньших и взаимно простых с .

Например, при М = 7 первообразным корнем по модулю 7 является число 3. Действительно, $\varphi(M)=6$ , т. е. количеству чисел ряда 1, 2, 3, 4, 5, 6 , каждое из которых взаимно просто с числом 7.

Два числа называются взаимно простыми, если в качестве общего делителя они имеют только единицу.

Числа $3^{1} – 1 = 2,\mbox{ }3^{2} – 1 = 8,\mbox{ }3^{3} – 1 = 26,\mbox{ }3^{4} – 1 = 80,\mbox{ }3^{5} – 1 = 242$ не делятся на 7 без остатка, и лишь $3^{6} – 1 = 728$ делится на 7 (частное от деления равно 104).

В системе MATLAB формирование простых чисел производится с помощью функции primes (см. $help\mbox{ }primes$ ). Для проверки, являются ли два числа взаимно простыми, можно применить функцию gcd , которая определяет наибольший общий делитель для двух чисел.

В самом простом случае принимается, что c=0 При этом можно использовать следующие рекомендации по выбору параметров генератора:

Начальное значение $R_{0}$ может быть произвольно.
Выбор должен удовлетворять трем требованиям: , $M/100<a<M-\sqrt{M}$ двоичные знаки не должны иметь очевидного шаблона.
В качестве следует выбирать нечетное число, такое, что
$a/M\approx 1/2 -\sqrt{3}/6=0.21132486540519$

Пример формирования модуля в командном окне MATLAB:

>> N = 7*10^6;
>> m = primes(N);
>> M = m(end)
M =
     6999997

Задание 4

Полагая в формуле (5.1) c=0

, напишите в MATLAB программу формирования случайных чисел, приняв следующие числа

для расчета модуля в зависимости от номера варианта:

№ 1	№ 1: № 2: ; № 3: ; № 4: ; № 5: ; № 6: ; № 7: ; № 8: ; № 9:
№ 2	№ 1: ; № 2: ; № 3: ; № 4: ; № 5: ; № 6: ; № 7: ; № 8: ; № 9:
№ 3	№ 1: ; № 2: ; № 3: ; № 4: ; № 5: ; № 6: ; № 7: ; № 8: ; № 9:
№ 4	>№ 1: ; № 2: ; № 3: ; № 4: ; № 5: ; № 6: ; № 7: ; № 8: ; № 9:

В качестве первого назначаемого случайного числа $R_{0}$ (в зависимости от номера варианта) примите следующие значения:

№ 1	№ 1: , № 2: , № 3: , № 4: , № 5: , № 6: , № 7: , № 8: , № 9: , где — массив простых чисел, сформированный с помощью выражения
№ 2	№ 1: , № 2: , № 3: , № 4: , № 5: , № 6: , № 7: , № 8: , № 9: , где — массив простых чисел, сформированный с помощью выражения
№ 3	№ 1: , № 2: , № 3: , № 4: , № 5: , № 6: , № 7: , № 8: , № 9: , где — массив простых чисел, сформированный с помощью выражения
№ 4	№ 1: , № 2: , № 3: , № 4: , № 5: , № 6: , № 7: , № 8: , № 9: , где — массив простых чисел, сформированный с помощью выражения

Вычислите период формируемой случайной последовательности (с помощью функции ).
Произведите статистический анализ созданного ГСЧ по линейному конгруэнтному методу.
Постройте гистограммы полученных распределений случайных чисел с помощью функции .
Постройте функции плотности и распределения для сформированных выборок случайных чисел. Совместите диаграммы с теоретическими функциями.

2. Статистическое тестирование выборки псевдослучайных чисел по критерию Колмогорова–Смирнова

По критерию Колмогорова–Смирнова (КС-критерию) осуществляется проверка простой статистической гипотезы $Н_{0}$ (нулевой гипотезы) о том, что функция распределения F(x) случайной величины совпадает с некоторой известной функцией $F_{0}(x)$ при некотором уровне значимости $\alpha$ . КС-критерием можно пользоваться уже при объеме выборки $n \ge 20$ .

В системе MATLAB КС-критерий реализован функцией kstest .

Рассмотрим пример использования функции kstest для проверки гипотезы о том, что функция распределения (F) выборки, сформированной с помощью функции rand , соответствует функции распределения (F0) экспоненциального закона с параметром 1 той же самой выборки.

Программное решение примера в командном окне MATLAB:

>> x = rand(25,1); F0 = expcdf(x,1);
>> H = kstest(x,[x,F0])
H =
     1

Полученный результат Н = 1 означает, что нулевая гипотеза отвергается, т. е. выборочная функция равномерного распределения (F) в интервале [0; 1] имеет значительные расхождения с предполагаемой функцией экспоненциального распределения (F0) с уровнем значимости $\alpha$ = 0.05 (по умолчанию). Если закладывается другой уровень значимости, отличный от 0.05, то тогда он должен быть введен в функцию kstest . На том же примере это будет выглядеть так (с уровнем значимости 0.012):

>> x = rand(25,1); F0 = expcdf(x,1);
>> H = kstest(x,[x,F0],0.012)
H =
     1

По-прежнему нулевая гипотеза отвергается.

Рассмотрим пример использования функции kstest для проверки гипотезы о том, что функция распределения выборки, сформированной с помощью rand , соответствует функции распределения равномерного закона из интервала [0; 1] той же самой выборки.

Решение примера в командном окне MATLAB:

>> x = rand(25,1); F0 = unifcdf(x,0,1);
>> H = kstest(x,[x,F0])
H =
     0

Нулевая гипотеза о равномерном распределении выборки принимается.

Задание 5

По критерию Колмогорова–Смирнова протестируйте выборки случайных чисел, сформированных по методу срединных квадратов.
По критерию Колмогорова–Смирнова протестируйте выборки случайных чисел объема 100, 500, 1000, сформированных по линейному конгруэнтному методу.

Дальше >>

Авторизоваться

Моделирование систем

Исследование качества генераторов случайных чисел

1.4. Исследование качества ГСЧ, сформированного по линейному конгруэнтному методу

2. Статистическое тестирование выборки псевдослучайных чисел по критерию Колмогорова–Смирнова

Вопросы и ответы