Лекция 7: Способы представления чисел в ЭВМ. Сложение чисел в обратном и дополнительном кодах
Модифицированные дополнительный и обратный коды и их использование в операции алгебраического суммирования
В модифицированных кодах кодирование знака осуществляется 2-мя разрядами:
"+" кодируется как "00"
"-" кодируется как "11".
При этом изображение числа X в этих кодах определяется равенствами:
![\left[X\right]_{МДК}=\begin{cases}X, если \; X\geq0;\\4+X, если \; X \lt 0\end{cases}](/sites/default/files/tex_cache/e460b6bc89d329fc6ab65a04fa4647ff.png)
![\left[X\right]_{МОК}=\begin{cases}X, если \; X\geq0;\\4+X-2^n, если \; X \leq 0\end{cases}](/sites/default/files/tex_cache/c7fb70542afa92dfa0b1422fea3560c0.png)
Эта избыточность, сохраняя все качества обычных дополнительного и обратного кодов, дополняет их способностью фиксировать переполнение.
Знаковые разряды результата "01" определяют положительное переполнение в операциях алгебраического суммирования, а "10" – отрицательное.
При этом основная методика выполнения операций алгебраического суммирования в обратном и дополнительном кодах не меняется:
- при алгебраическом суммировании в модифицированном обратном единица, выходящая за пределе знаковых разрядов, должна быть добавлена в младший разряд предварительного результата,
- при алгебраическом суммировании в модифицированном дополнительном коде единица, выходящая за предел знаковых разрядов, отбрасывается.
Данный метод, при всей его простоте и наглядности, практического применения в ЭВМ не нашел. В основном, это связано с его большой избыточностью при кодировании данных и потерями времени при выполнении операции и последующей интерпретации результата.
Метод на основе логического преобразования сигналов межразрядных переносов
В настоящее время практически во всех компьютерах роль модифицированных кодов выполняют переносы, идущие в знаковый и из знакового разряда. Определение факта наличия переполнения выполняется практически одновременно с выполнением самой операции суммирования по следующей формуле:
на примере восьмиразрядных операндов, где C7 – перенос в старший (знаковый) разряд, а C8 – перенос из знакового разряда.
Так при сложении операндов
произойдет переполнение разрядной сетки результата:
а при сложении операндов
нет, так как в данном случае: 
.
Такой подход требует использования всего лишь одного дополнительного элемента – "сумма по модулю два" – в сумматоре и практически не снижает его быстродействия.
Краткие итоги
В лекции рассмотрено представление чисел в прямом, обратном и дополнительном кодах. Особое внимание уделено дополнительному коду представления числа как наиболее распространенному в современных компьютерах. Показаны особенности алгебраического суммирования чисел в обратном и дополнительном кодах при различных сочетаниях операндов. Рассмотрены механизмы фиксации переполнения при выполнении операции алгебраического суммирования чисел.
Вопросы и задания
- Как изображается знак числа при его кодировании? Возможно ли другое изображение знака числа? Сравните различные способы изображения знака.
- В каком диапазоне размещаются числа с фиксированной запятой в прямом коде?
- Как просуммировать числа, заданные в прямом коде без их перевода в обратный либо дополнительный код?
- Какова методика получения обратного кода числа по его прямому коду?
- Каковы недостатки алгебраического суммирования чисел в обратном коде?
- Укажите самое большое и самое маленькое число в дополнительном коде, где под числовую часть отведено n разрядов.
- Укажите правило суммирования чисел в обратном коде при отсутствии переполнения результата.
- Какова методика получения дополнительного кода числа по его прямому коду?
- В каком коде – прямом, обратном или дополнительном – можно представить больше чисел? Почему?
- Запишите число (-3/8) в прямом, обратном и дополнительном кодах.
- Укажите правило суммирования чисел в дополнительном коде при отсутствии переполнения результата.
- В каком коде – обратном или дополнительном суммирование происходит быстрее? Почему?
- Назовите основные методы фиксации переполнения при алгебраическом суммировании чисел в обратном и дополнительном кодах. Каковы их сравнительные достоинства и недостатки?
- Какой из методов определения переполнения является самым быстродействующим? Какой из них требует наименьших дополнительных аппаратных затрат?
- Система команд персональной ЭВМ на основе 16-разрядного микропроцессора может использовать как 8-, так и 16-разрядные операнды. Как в таком случае должка быть организована оперативная память и АЛУ такой ЭВМ, чтобы в ней можно было использовать модифицированный код для фиксации переполнения?