Опубликован: 05.06.2018 | Доступ: свободный | Студентов: 439 / 55 | Длительность: 07:59:00
Лекция 2:

Способы представления ФАЛ. Переход от одной формы представления ФАЛ к другой

< Лекция 1 || Лекция 2: 12 || Лекция 3 >
Аннотация: Цель лекции: познакомить студента с различными формами представления логических функций (табличным и аналитическими), а также объяснить методы перехода от одной формы представления ФАЛ к другой. Ключевые слова: таблица истинности, совершенная дизъюнктивная нормальная форма, совершенная конъюнктивная нормальная форма.

Основная форма представления функций алгебры логики – таблица истинности (ТИ), которая определяет значение функции на всех наборах переменных.

Таблицами истинности для функций одной и двух переменных являются таблицы 2.1 и 2.2 соответственно.

Помимо таблицы истинности, возможны и другие виды представления ФАЛ, наиболее распространенными из которых являются совершенная дизъюнктивная нормальная форма, описывающая все наборы переменных, на которых функция принимает значение, равное 1, и совершенная конъюнктивная нормальная форма, описывающая все наборы переменных, на которых функция принимает значение, равное 0.

Рассмотрим способы перехода от одного вида представления ФАЛ к другому.

Пример 2.1 Пусть ФАЛ задана в виде таблицы истинности (2.1).

Таблица 2.1.
Номер набора x y z f(x,y,z)
0 0 0 0 1
1 0 0 1 0
2 0 1 0 0
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 1
6 1 1 0 0
7 1 1 1 1

Получить СДНФ и СКНФ этой функции.

Решение

Получение СДНФ.

Для представления сокращенной записи СДНФ этой функции необходимо под знаком обобщенной дизъюнкции Σ или V перечислить через запятую номера всех наборов, на которых функция принимает значение, равное 1.:

f(x,y,z)_{СДНФ} = \sum (0,3,4,5,7)
Примечания: данный вид представления функции является сокращенной записью СДНФ, а не записью сокращенной дизъюнктивной нормальной формы.

Получение развернутой записи СДНФ включает следующие этапы.

Этап 1.

Записать дизъюнкцию k конъюнктивных термов, содержащих все переменные, от которых зависит функция, где k – количество наборов, на которых функция принимает значение, равное единице, то есть количество наборов, перечисленное в сокращенной записи СДНФ:

f(x,y,z) =xyz \vee xyz \vee xyz \vee xyz \vee xyz

Этап 2.

Записать под каждым термом двоичный эквивалент одного из наборов, на которых функция принимает значение, равное единице:


Этап 3.

Расставить знаки отрицания над теми переменными, которым в двоичном эквиваленте соответствует 0:


Полученная запись представляет собой совершенную дизъюнктивную нормальную форму для функции, заданной таблицей истинности 2.1.

Получение СКНФ.

Для представления сокращенной записи СКНФ этой функции необходимо под знаком обобщенной конъюнкции Π или Λ перечислить через запятую номера всех наборов, на которых функция принимает значение, равное 0:

f(x,y,z)_{СКНФ}=\Pi (1,2,6)
Примечание: данный вид функции представляет собой сокращенную запись СКНФ, а не запись сокращенной конъюнктивной нормальной формы.

Получение развернутой записи СДНФ включает следующие этапы.

Этап 1.

Записать конъюнкцию m дизъюнктивных термов, содержащих все переменные, от которых зависит функция, где m - количество наборов, на которых функция принимает значение, равное 0, то есть количество наборов, перечисленное в сокращенной записи СКНФ:

f(x,y,z) = (x \vee y \vee z) \And (x \vee y \vee z) \And (x \vee y \vee z)

Этап 2.

Записать под каждым термом двоичный эквивалент одного из наборов, на которых функция принимает значение, равное 0:


Этап 3.

Расставить знаки отрицания над теми переменными, которым в двоичном эквиваленте соответствует 1:


Полученная запись представляет собой совершенную конъюнктивную нормальную форму для функции, заданной таблицей истинности 2.1.

Пример 2.2

Пусть ФАЛ задана сокращенной записью СДНФ:

f(x,y,z)_{СДНФ}=\sum(0,1,2,5,7)

Представить таблицу истинности, а также полную и сокращенную записи СКНФ этой функции.

Решение

Получение таблицы истинности

Этап 1.

Подготовить ТИ для логической функции трех переменных

Таблица 2.2.
Номер набора x y z f(x,y,z)
0 0 0 0
1 0 0 1
2 0 1 0
3 0 1 1
4 1 0 0
5 1 0 1
6 1 1 0
7 1 1 1

Этап 2.

Записать 1 в качестве значения функции в строки, соответствующие наборам, перечисленным в сокращенной записи СДНФ.

Номер набора x y z f(x,y,z)
0 0 0 0 1
1 0 0 1 1
2 0 1 0 1
3 0 1 1
4 1 0 0
5 1 0 1 1
6 1 1 0
7 1 1 1 1

Этап 3.

Записать 0 в качестве значения функции в остальные строки таблицы.

Номер набора x y z f(x,y,z)
0 0 0 0 1
1 0 0 1 1
2 0 1 0 1
3 0 1 1 0
4 1 0 0 0
5 1 0 1 1
6 1 1 0 0
7 1 1 1 1

Таблица истинности получена.

Получение СКНФ.

Получение СКНФ по ТИ описано в примере 2.1.

Результатом будет:

f(x,y,z)_{СКНФ} = \Pi (3,4,6) = (x \vee \overline{y}   \vee \overline{z} ) \And (\overline{x} \vee y \vee z ) \And (\overline{x} \vee \overline{y} \vee z)
< Лекция 1 || Лекция 2: 12 || Лекция 3 >
Дмитрий Карачун
Дмитрий Карачун
Беларусь, Минск
Дмитрий Сирош
Дмитрий Сирош
Украина, Черкассы