Основные понятия алгебры логики. Функции алгебры логики. Основные логические эквивалентности

Штрих Шеффера (И-НЕ)

Штрих Шеффера (И-НЕ)^{1Шеффер, Генри Морисс (1882-1964) –американский учёный украинского происхождения}

Основные свойства:

0/0 = 1

0/1 = 1

1/1 = 0

0/x = 1

x/y = y/x

x/(y/z) ≠ (x/y)/z

Иногда ФАЛ "Штрих Шеффера" называют операцией "И-НЕ". И действительно, для двух переменных это так. Но если мы будем использовать большее количество переменных, то соотношение нарушается.

И, в то же время, для трёх и более переменных таблица истинности ФАЛ "Штрих Шеффера" совпадает с таблицей истинности функции "И-НЕ". Поэтому иногда в литературе можно встретить мнение о том, что операция "Штрих Шеффера" применима лишь для двух переменных. В остальных случаях следует говорить об операции "И-НЕ", при которой сначала выполняется конъюнкция всех переменных, от которых зависит ФАЛ, а затем проводится операция "НЕ" над полученным результатом.

Таким образом, для любого числа переменных функция "Штрих Шеффер" истинна, если хотя бы один из используемых аргументов ложен.

Покажем, что логическая функция x/(y/z) не эквивалентна ФАЛ (x/y)/z, то есть, что функции штрих Шеффера не действует сочетательный закон. Для этого построим таблицу истинности для первой и второй ФАЛ.

Как мы видим, таблицы истинности для первой и второй функций не совпадают, то есть эти функции не эквивалентны.

Также приведём таблицу истинности ФАЛ "И-НЕ" для трех переменных.

Стрелка Пирса (функция Вэбба) (ИЛИ-НЕ)^{2Чарльз Пирс – американский математик (1839—1914)}

В некоторых источниках можно встретить разночтения в названии и обозначении этой ФАЛ. Иногда ее называют элементом Вэбба, иногда обозначают вертикально вверх направленной стрелкой. Мы в дальнейшем эту логическую функцию будем называть стрелкой Пирса и обозначать стрелкой, направленной вертикально вниз.

Свойства

0↓0 = 1

0↓1 = 0

1↓1 = 0

0↓x =x

1↓x = 0

x↓y=y↓x

x↓(y↓z) ≠ (x↓y)↓z

В отношении этой функции можно сказать примерно то же самое, что было сказано по поводу ФАЛ "Штрих Шеффера": для функции от двух переменных она эквивалентна функции "ИЛИ-НЕ". В то же время ассоциативный закон для нее не выполняется.

Прервем на немного рассмотрение отдельных функций и расскажем о правилах, которые зачастую помогаю существенно упростить то или иное логическое выражение.

Правила де Моргана.^{3Огастес (Август) де Мо́рган – шотладский математик и логик (1806-1871)}Применительно к рассмотренным функциям, данные правила позволяют выполнить переход от одной формы представления логической функции к другой:

x₁ & x₂ & ... & x_n = x₁ v x₂ v ... x_n

x₁ v x₂ v ... x_n = x₁ & x₂ & ... & x_n

Или, описывая эти преобразования словесно, можно сказать, что "отрицание конъюнкций есть дизъюнкция отрицаний" и, в свою очередь, "отрицание дизъюнкций есть конъюнкция отрицаний".

Этими правилами мы будем в дальнейшем часто пользоваться.

При минимизации логических функций используются следующие эквивалентные преобразования.

Операция склеивания:

( 1.1)

( 1.2)

Операция неполного склеивания:

Операция поглощения:

x v xy = x

x v xy = x

Казалось бы, что операция неполного склеивания не имеет отношение к минимизации, так как получаемое выражение больше исходного. Однако, эта операция играет очень важную роль при минимизации, что бы позднее покажем.

А пока покажем эквивалентность, например, одной из операций склеивания:

Ее таблица истинности имеет вид:

х	y	x v y			ƒ1(x,y)
0	0	0	1	1	0
0	1	1	0	0	0
1	0	1	1	1	1
1	1	1	0	1	1

Это соответствует таблице истинности ƒ₂(x,y) = x.

А теперь рассмотрим еще одну функцию, играющую важную роль в арифметических и логических основах ЭВМ.