Национальный исследовательский университет "Высшая Школа Экономики"
Опубликован: 19.11.2012 | Доступ: свободный | Студентов: 1992 / 430 | Длительность: 30:21:00
Специальности: Менеджер, Преподаватель
Лекция 12:

Системы компьютерной математики (СКМ)

12.4.Символьные расчеты в СКМ

Символьные расчеты выполняются во встроенном символьном процессоре путем вызова нужного оператора с панели инструментов Symbolic (либо при помощи главного меню).

Запуск на выполнение символьных действий выполняется при помощи оператора вывода \to и нажатия клавиши Enter. Результат получается, соответственно, в символьной форме.

Примеры простых символьных расчетов:

\sqrt{27} \to 3\cdot \sqrt{3} \frac{1}{2}+\frac{1}{3} \to \frac{5}{6}

Результат здесь получился в таком же виде, как если бы мы выполняли действия вручную – с корнями, или в виде обыкновенной дроби. При выполнении численных расчетов (оператор = на панели "Calculator") результат будет таким:

\sqrt{27} =5.196 \frac{1}{2}+\frac{1}{3} =0.833

Вводим теперь классическое соотношение:

sin(x)^2+cos(x)^2 \to cos(x)^2+sin(x)^2

и с удивлением обнаруживаем, что ничего не получилось. А, собственно, чего еще можно было ожидать, даже не задав СКМ своих требований. Для этого используются специальные операторы с панели Symbolic. С их помощью и выполняются все упрощения математических выражений и алгебраические преобразования. Наиболее универсальный из этих операторов – simplify (упростить).

sin(x)^2+cos(x)^2 simplify \to 1

Интересно сравнить результаты решения одного и того же, например, квадратного уравнения в символьной форме:

x^2-4x+1 solve $$\begin{pmatrix}
\sqrt{3}+2\\
2-\sqrt{3}
\end{pmatrix}$$

и в численном виде:

z:=$$\begin{pmatrix}
1\\
-4\\
1
\end{pmatrix}$$ polyroots (z)=$$\begin{pmatrix}
0.268\\
3.732
\end{pmatrix}$$

Во втором случае полином задается вектором коэффициентов Z, а функция polyroots(z) вычисляет его корни.

Покажем, как выполняются алгебраические преобразования при упрощении математических выражений с помощью других операторов палитры Symbolic (напомним: они вызываются однократным кликом после набора исходного выражения).

Первый пример: оператор expend (разложить), выполняющий перемножение и представляющий результат в виде многочлена. Выполним пример в пошаговом режиме.

  1. Ввести исходное выражение (его можно скопировать как фрагмент из другого выражения).

    \frac {(x^3+x^2+a)\cdot(x+b)}{(x^2+1)\cdot(x-1)}

  2. На палитре Symbolic "кликнуть" на слове expend (разложить) и нажать клавишу Enter.

    \frac {(x^3+x^2+a)\cdot(x+b)}{(x^2+1)\cdot(x-1)} expand \to \frac {bx^2+bx^3+x^3+x^4+ab+ax}{x^3-x^2+x-1}

Выполнилось разложение исходного выражения путем перемножения в числителе и знаменателе. Очень эффектно оператор expend работает в качестве справочного инструмента как показано ниже.

sin(x+y+z) expand \to cos(x)*cos(y)*sin(z)+cos(x)*sin(y)*cos(z)+sin(x)*cos(y)*cos(z)-sin(x)*sin(y)*sin(z)

Другой пример

sin(4x)-cos(6x) expand,x \to 15*cos(x)^4*sin(x)^2-cos(x)^6+4*cos(x)^3*sin(x)-15*cos(x)^2*sin(x)^4-4*cos(x)*sin(x)^3+sin(x)^6

При помощи оператора factor выполняется разложение на множители, например:

(х^3+1) factor \to (x+1)(x^2-x+1)

А вот как можно проверить, является ли число 199995 простым, – выполняем:

199995 factor \to 3 \cdot 5 \cdot 67 \cdot 199

убеждаемся, что это число непростое, поскольку в его разложении нашлись четыре простых множителя. А вот так можно привести выражение к общему знаменателю:

\frac{z}{x-1} + \frac{y}{x+1} factor \to \frac{z-y+xy+xz}{(x-1)(x+1)}

Оператор collect, наоборот, выносит за скобку общий множитель (через запятую нужно обязательно указать его вид):

x^3y+x^3 collect,x \to (y+1)x^3

Однако, несмотря на кажущуюся простоту, это действие (вынесение множителя) является очень сложной интеллектуальной задачей, поэтому оператор collect работает нечетко, требует подсказки – что нужно выносить, и используется достаточно редко.

А вот оператор разложения на элементарные дроби parfrac и работает отлично, и используется широко; особенно он полезен при интегрировании рациональной функции.

\frac{5x-1}{(x-1)(x+1)} parfrac \to \frac{2}{x-1} +\frac{3}{x+1}

Теперь проинтегрировать правую часть не составит труда, если вспомнить, что первообразной для (1/х) является ln(x).

Часто при решении математических задач возникает необходимость замены переменной в формуле на заданное выражение. Запишем, например, такую формулу:

\frac{x^2-1}{x} \cdot z, где z=\frac{x}{x+1}

вызовем оператор substitute (заместить) c панели Symbolic

\frac{x^2-1}{x} \cdot z substitute, \blacksquare=\blacksquare \to

и в правый маркер (черный квадратик) поместим такую запись, задающую подстановку:

\frac{x^2-1}{x} \cdot z substitute, z=\frac{x}{x+1} \to x-1

Как видно, программа не только выполнила требуемую подстановку, но и упростила выражение.

К подстановкам часто приходится прибегать при работе с MathCad и вот почему. Эффективность, например, решения уравнений или действие оператора разложения expend резко повышается, если исходная формула не содержит радикалов (корней).

MathCad постоянно совершенствуется – два классических примера бессилия MathCad 12 [3 ]:

\frac{\sqrt{x}+1}{x-1} simplify \to \frac{x^{\frac{1}{2}}+1}{x-1}

\frac{sin(2x)}{2cos(x)} simplify \to \frac{1}{2} \cdot \frac{sin(2x)}{cos(x)}

в MathCad 14 решаются легко:

\frac{\sqrt{x}+1}{x-1} simplify \to \frac{1}{\sqrt{x}-1}

\frac{sin(2x)}{2cos(x)} simplify \to sin(x)

Часто на практике требуется выполнить одновременно несколько последовательных преобразований формулы с целью ее упрощения. Для этого служит оператор simplify ("упростить"). Можно сказать, что с его помощью выполняется, в некотором смысле, комплексное упрощение. Оттого он и наиболее востребован.

Например:

e^{ln(a^2-1)} simplify \to a^2-1

Вычисление пределов в среде MathCad отработано надежно и фундаментально, поскольку пределы – основа математического анализа. Про первый замечательный можно даже и не говорить – идеально. Равно как и второй.

С правилом Лопиталя СКМ справляется без проблем:

\lim_{n \to 0} \frac{(e^x-e^{-x})}{sin(x)} \to 2

И переходить к пределу логарифма с последующим потенцированием среда MathCad тоже умеет:

\lim_{n \to 0} \left(\frac{1}{x} \right) ^{tan(x)} \to 1

\lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{1}{2x} \right) ^{x} \to \sqrt{e}

Могут быть вычислены и односторонние пределы. В следующем хрестоматийном [1] примере предел функции:

y=\frac{1}{1+e^{\frac{1}{x}}} y

в точке х=0 не существует,

\lim_{n \to 0} \frac{1}{1+e^{\frac{1}{x}}} \to undefined

тогда как односторонние могут быть определены. Что с успехом и выполняет MathCad .

\lim_{n \to 0^-} \frac{1}{1+e^{\frac{1}{x}}} \to 1 \lim_{n \to 0^+} \frac{1}{1+e^{\frac{1}{x}}} \to 0

Рассмотрим несколько изящных примеров, показывающих возможности вычисления пределов и одновременно красиво демонстрирующих основы математического анализа – нахождение производной классическим способом как предела отношения приращения функции к приращению аргумента при неограниченном уменьшении последнего. Получим известную формулу для (log_ax)'

\lim_{\delta \to 0} \frac{(log(x+\delta,a)-logg(x,a)}{\delta} \to \frac{1}{x \cdot ln(a)}

Аннна Миллер
Аннна Миллер
Екатерина Дмитриева
Екатерина Дмитриева