Опубликован: 10.09.2016 | Доступ: свободный | Студентов: 791 / 110 | Длительность: 15:27:00
Тема: Экономика
Лекция 9:

Разностные уравнения и их решение

< Лекция 8 || Лекция 9: 12 || Лекция 10 >

9.1. Уравнения первого и второго порядков

Пусть дана функция y = f(t). Тогда первая разность \Delta y определяется по формуле

\Delta y = f(t + h) - f(t) = y(t + h) - y(t). (9.1)

В отличие от дифференциального исчисления мы не предполагаем, что h стремится к нулю. Так как большинство экономических данных собираются через определенные равные промежутки времени, полезно считать, что h > 0. Более того, обычно полагают период между наблюдениями h нормализованным, т.е. выбирают h = 1 (один месяц, один квартал, один год). Поэтому первые разности можно записать в виде

\Delta y_{t} = f(t) - f(t - 1) = y_{t} - y_{t - 1},\\
			Delta y_{t + 1} = f(t + 1) - f(t) = y_{t + 1} - y_{t},\\
		\Delta y_{t + 2} = f(t + 2) - f(t + 1) = y_{t + 2} - y_{t + 1}

и т.д.

Таким же образом сформируем вторую разность как изменение первой разности:

\Delta ^{2}y_{t} = \Delta (\Delta y_{t}) = \Delta (y_{t} - y_{t - 1}) = (y_{t} - y_{t - 1}) - (y_{t} - 1 - y_{t - 2}) = y_{t} - 2y_{t - 1} + y_{t - 2},\\
		Delta ^{2}y_{t + 1} = y_{t + 1} - 2y_{t} + y_{t - 1}

и т.д.

Аналогично определяется разность n-го порядка:

\Delta ^{n}y_{t} = \Delta (\Delta ^{n-1}y_{t}).

Так как в настоящем учебном пособии в основном рассматриваются линейные модели временных рядов, изучим только один специальный случай линейного разностного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами, а именно уравнение вида


(9.2)

Порядок разностного уравнения задается показателем n - максимальной величиной шага запаздывания, или, другими словами, максимальным лагом. Уравнение считается линейным потому, что все значения зависимой переменной y входят в него в первой степени.

Коэффициенты a_{0}, a_{i }(i = 1, \dots , n) называются параметрами уравнения и не зависят от значений x и y. Переменная x представляет возмущающий процесс и может зависеть от времени, текущего и прошлого значений других переменных или иметь стохастический характер изменения. Соответственно, выбирая возмущающий процесс x, можно получить широкий спектр важных макроэкономических моделей.

Рассмотрим, например, стохастическую версию классической кейнсианской модели, предложенную Самуэльсоном:


(9.3)

где

y_{t} - реальный общий национальный продукт;
c_{t} - потребление;
i_{t} - инвестиции в момент времени t.

Слагаемые \varepsilon _{ct} и \varepsilon _{it} имеют нулевые средние и объясняют случайные возмущения в потреблении и инвестировании.

Преобразуем кейнсианскую модель производства и потребления (9.3) к виду

y_{t} = \alpha (1 + \beta )y_{t-1} - \alpha \beta by_{t-2} + (1 + \beta b)\varepsilon _{ct} + \varepsilon _{it} - \beta \varepsilon _{ct-1}. (9.4)

Уравнение (9.4) выражает y_{t} как функцию от собственных запаздываний (лагов) и возмущающих членов. Выберем возмущающий процесс в виде

x_{t} = (1 + \beta ) \varepsilon _{ct} + \varepsilon _{it} - \beta \varepsilon _{it}_{-1}.

и получим разностное линейное уравнение второго порядка вида (9.2). Отметим, что в уравнении (9.4) отсутствует свободный член, т.е. a_{0} = 0.

Важный частный случай для последовательности {x_{t}} получаем при где \beta_{i} - константы, \varepsilon _{t-i} не зависят от y. При этом можно полагать, что \{\varepsilon _{t}\} является последовательностью неопределенных внешних (экзогенных) переменных. Например, если \{\varepsilon _{t}\} - последовательность случайных ошибок наблюдений и \beta _{0} = 1; \beta _{1} = \beta _{2} = \dots = 0, то уравнение (9.2) становится уравнением авторегрессии

y_{t} = a_{0} + a_{1}y_{t - 1} +\dots + a_{n}y_{t} - n + \varepsilon _{t}.

Пусть n = 1, a_{0} = 0, a_{1} = 1. Тогда получаем модель случайного блуждания.

Другой полезный пример дает уравнение

y_{t} = 0,7y_{t - 1} + \varepsilon _{t}. (9.5)

Можно проверить, что решением этого разностного уравнения первого порядка является функция


(9.6)

Метод итераций (последовательных приближений). Обозначим известное значение функции y в момент времени 0 как y_{0}. Обратимся к разностному уравнению первого порядка

y_{t} = a_{0} + a_{1}y_{t -1} + \varepsilon _{t}. (9.7)

Подставляя y_{0} в (9.7), получаем:

y_{1} = a_{0} + a_{1}y_{0} + \varepsilon _{1}.

Тем же путем находим y_{2}:

y_{2} = a_{0} + a_{1}y_{1} +\varepsilon _{2} = a_{0} + a_{1}(a_{0} + a_{1}y_{0} + \varepsilon _{1}) + \varepsilon _{2} = a_{0} + a_{0}a_{1} + (a_{1})^{2}y_{0} + a_{1}\varepsilon _{2}+ \varepsilon _{2}.

Продолжая процесс, найдем y_{3}:

y_{3} = a_{0} + a_{1}y_{2} + \varepsilon _{3} = a_{0}[1 + a_{1} + (a_{1})^{2}] + (a_{1})^{3}y_{0} + (a_{1})^{2} \varepsilon _{1} + a_{1} \varepsilon _{2} + \varepsilon _{3}.

Для итерации с номером t получаем решение уравнения (9.7):


(9.8)

Предположим, что начальное значение y_{0} неизвестно. Тогда при движении "назад" заменим y_{0} на итерацию "назад" a_{0} + a_{1}y_{-1} + \varepsilon _{0}. В результате получаем:


Предполагая, что a_{1} < 1 и сдвигаясь назад на m периодов (m \to \infty ), получаем: Можно показать, что полученное решение уравнения (9.7) не единственное. Решением уравнения (9.7) при любом С будет и выражение


(9.9)

Выражение (9.9), как и в случае дифференциальных уравнений первого порядка, представляет сумму общего решения y_{t}^{одн} = Ca_{1}^{T } однородного разностного уравнения вида (9.2) y_{t} = a_{1}y_{t-1} + \varepsilon _{t} и частного решения неоднородного уравнения (9.7).

Теперь рассмотрим случай a_{1} = 1. Тогда движением "назад" получаем решение в виде В отличие от предыдущего случая здесь ошибки \varepsilon _{i} не убывают, а накапливаются.

Рассмотрим теперь уравнение второго порядка

y_{t} - a_{1}y_{t-1} - a_{2}y_{t-2} = 0. (9.10)

Будем искать решение уравнения второго порядка в том же виде

y_{t}^{одн} = C\alpha ^{t}, C \ne 0.

Подставляя это выражение в (9.10), получаем

Сa_{t} - a_{1}Сa^{t-1} - a2Сa^{t-2} = 0. (9.11)

Разделив обе части (9.11) на Сa^{t-2}, получим характеристическое уравнение \alpha ^{2} - a_{1}\alpha - a_{2} = 0. При решении характеристического уравнения могут возникнуть три случая.

Случай 1. Дискриминант d = a_{1}^{2} + 4a_{2} > 0 и существуют два действительных различных корня уравнения. Тогда

y_{t}^{одн} = C_{1}(a_{1})_{t} + C_{2}(a_{2})^{T} .

Если абсолютное значение хотя бы одного из корней a_{1} или a_{2} превышает единицу, то однородное решение имеет "взрывной" характер при t \to \infty.

Случай 2. Если d = 0, то общее решение имеет вид


Решение носит "взрывной" характер при |a_{1}| > 2. Если |a_{1}| < 2, то из-за слагаемого поведение общего решения не так ясно. В итоге решение стремится к нулю, но вначале может носить "взрывной" характер.

Случай 3. Если a_{1}^{2} + 4a_{2} < 0, то d < 0 и характеристические корни комплексные. В этом случае однородное решение может быть получено в виде y_{1}^{онд }= \beta _{1}r^{T} cos(\theta_{t} +\beta _{2}), где \beta _{1}, \beta _{2} - произвольные постоянные, а \theta удовлетворяет соотношению Тригонометрическая функция создает волнообразное поведение решения однородного уравнения. Частота колебаний определяется параметром \theta, а амплитуда колебаний - множителем r = (-a_{2})^{1/2}. Если |a_{2}| = 1, то амплитуда не меняется. Колебания затухают при |a_{2}| < 1 и растут при |a_{2}| > 1.

Характеризация условий устойчивости. В случае существования двух корней характеристического уравнения для устойчивости требуется, чтобы оба корня находились внутри промежутка (-1; 1). В случае совпадающих характеристических корней условие устойчивости принимает вид |a_{1}| < 2. Для комплексных корней в случае 3 (d < 0) условие устойчивости следующее: -a_{2} < 1 (a_{2} < 0).

< Лекция 8 || Лекция 9: 12 || Лекция 10 >
Инесса Воробьева
Инесса Воробьева

В дисциплине "Основы эконометрики" тест 6 дается по теме 7.

Ангелина Кулеш
Ангелина Кулеш
Беларусь
Игорь Зеленцов
Игорь Зеленцов
Россия, Москва