Опубликован: 10.09.2016 | Доступ: свободный | Студентов: 791 / 110 | Длительность: 15:27:00
Тема: Экономика
Лекция 6:

Сглаживание временных рядов

6.1. Линейные фильтры

Одним из распространенных способов выявления тренда является сглаживание временного ряда. Его суть сводится к замене фактических значений ряда расчетными, полученными после удаления высокочастотных колебаний. Поэтому сглаживание ряда часто называют фильтрованием, а преобразование ряда (оператор), с помощью которого осуществляется фильтрование, - фильтром.

Наиболее часто на практике используются линейные фильтры. Общая формула линейного фильтра такова


(6.1)

где

Y(t) - сглаженное (отфильтрованное) значение временного ряда в момент времени t;
a_{r} - вес, приписываемый значению исходного ряда, находящемуся на расстоянии r от рассматриваемого момента времени t.

Фильтр (6.1) учитывает k значений (уровней) ряда после момента времени t и l уровней до него. Число k + l + 1 значений исходного ряда, одновременно участвующих в сглаживании, называется шириной интервала сглаживания. Если k = l, то сглаживание центрированное. Сглаженный ряд короче исходного ряда на k + 1 значение. В зависимости от выбора ширины интервала сглаживания, величины весов a_{r} применяются различные методы сглаживания, самым простым из которых является метод простой скользящей средней.

6.2. Метод простой скользящей средней

Если \sum a_{r} = 1 и a_{r} = const, то фильтр (6.1) означает вычисление средней арифметической, которую называют скользящей средней.

Для удобства сопоставления сглаженного и исходного рядов ширину интервала сглаживания чаще выбирают нечетным числом m = 2k + 1. Тогда a_{r} = 1/m и из (6.1) получаем


(6.2)

Такое сглаживание будет симметричным (а_{-r} = a_{r})и центрированным. Чаще всего для сглаживания берут m = 3; 5; 7. Если дисперсия уровней исходного ряда постоянная и равна \sigma ^{2}, а сами члены ряда X(t_{i})независимы между собой, то дисперсия сглаженного ряда Y(t)равна \sigma ^{2}/m. Таким образом, при увеличении колеблемости исходного ряда X(t) (при наличии большой дисперсии \sigma ^{2}) для уменьшения амплитуды колебаний у сглаженного ряда Y(t) необходимо увеличивать ширину интервала сглаживания m либо проводить процедуру сглаживания повторно. Кстати, по степени уменьшения дисперсии у повторно сглаженных рядов можно судить о степени зависимости между собой членов исходного ряда, т.е. о наличии "долговременной памяти" у исходного ряда.

Если ряд имеет периодические колебания с продолжительностью цикла меньше m, то они полностью исчезают при сглаживании с помощью скользящей средней с шириной интервала сглаживания m.

Расчет Y(t) при m > 3 можно упростить, применяя рекуррентную формулу


(6.3)

При расчетах по формуле (6.3) первое сглаженное значение Y(k + 1) вычисляется по формуле (6.2)

Y(k + 1) = (X(1) + X(2) + \dots + X(m))/m, m = 2k + 1.

Недостатком метода простой скользящей средней является равное участие в сглаживании значений ряда, отстоящих от момента сглаживания t на разном расстоянии. В результате этого могут быть потеряны важные для анализа свойства ряда. Рассмотрим более "тонкие" методы сглаживания.

Инесса Воробьева
Инесса Воробьева

В дисциплине "Основы эконометрики" тест 6 дается по теме 7.

Ангелина Кулеш
Ангелина Кулеш
Беларусь
Игорь Зеленцов
Игорь Зеленцов
Россия, Москва