В дисциплине "Основы эконометрики" тест 6 дается по теме 7. |
Лабораторная работа № 7: Сглаживание временного ряда
Требуется сгладить временной ряд методами:
- простой скользящей средней;
- взвешенной средней:
- выбором весов в разложении бинома;
- с выбором весов из уравнения квадратичной регрессии;
- простой экспоненциальной средней.
Отчет по лабораторной работе № 7
Задан ряд показателей урожайности зерновых культур в целом по России (ц/га) за 1984-1999 гг.: 15,6; 17,6; 16,4; 15,6; 17,6; 20,3; 15,8; 18,8; 17,9; 15,6; 12,5; 14,0; 17,8; 10,4; 10,6.
Метод простой скользящей средней. Сглаживание производится по формуле (6.2)
Выберем ширину интервала сглаживания .
Расчеты будем проводить по рекуррентной формуле
Но вначале найдем Y(3):
Тогда:
![Y(4) = Y(3) + 1/5(X(6) - X(1)) = 16,56 + 1/5(20,3 - 15,6) = 17,5;\\
Y(5) = Y(4) + 1/5(X(7) - X(2)) = 17,5 + 1/5(15,8 - 17,6) = 17,14;\\
Y(6) = Y(5) + 1/5(X(8) - X(3)) = 17,14 + 1/5(18,8 - 16,4) = 17,62;\\
7) = Y(6) + 1/5(X(9) - X(4)) = 17,62 + 1/5(17,9 - 15,6) = 18,08;\\
Y(8) = Y(7) + 1/5(X(10) - X(5)) = 18,08 + 1/5(15,6 - 17,6) = 17,68;\\
Y(9) = Y(8) + 1/5(X(11) - X(6)) = 17,68 + 1/5(12,5 - 20,3) = 16,12;\\
Y(10) = Y(9) + 1/5(X(12) - X(7)) = 16,12 + 1/5(14,0 - 15,8) = 15,76;\\
Y(11) = Y(10) + 1/5(X(13) - X(8)) = 15,76 + 1/5(17,8 - 18,8) = 15,56;\\
Y(12) = Y(11) + 1/5(X(14) - X(9)) = 15,56 + 1/5(10,4 - 17,9) = 14,06;\\
Y(13) = Y(12) + 1/5(X(15) - X(10)) = 14,06 + 1/5(10,6 - 15,6) = 13,06.](/sites/default/files/tex_cache/e64f1bd3809e44d2b921501560521fc0.png)
Полученные результаты запишем в таблицу.
Методы взвешенной средней. В случае биномиального сглаживания расчет производится по формулам 6.4-6.7.
При
![a_{–2} = 1/16; a_{–1} = 1/4; a_{0} = 3/8; a_{1} = 1/4; a_{2} = 1/16.](/sites/default/files/tex_cache/279fd2a868b7f7c7e2b0261c2bbac32c.png)
Тогда:
и т.д. Наконец,
Результаты вычислений заносим в четвертую графу таблицы.
В современных вычислительных пакетах сглаживание по биному не представляет труда. Например, в пакете STATISTICA программа сглаживания нашего ряда выглядит следующим образом:
RandomAccess;
For i: = 3 to 13 do begin V(i, 4): = (1/16) · V(i - 2,2) + (1/4) · V(i - 1,2) + (3/8) · V(i, 2) + (1/4) · V(i + 1,2) + (1/16) · V(i + 2,2); end.
Для расчета сглаженных средних по квадратичной регрессии используется та же формула, но с другими весами (см. (6.10).
![a_{r} = -3/35; 12/35; 17/35; 12/35; -3/35, m = 5, k = 2, r = -2; -1; 0; 1; 2.](/sites/default/files/tex_cache/172009292e92f3ebd20c306f1b3cc899.png)
Тогда:
и т.д. Наконец,
Кроме того, используя формулы (6.14)-(6.21), рассчитаем :
![a = Z(0) = Y(3) = 16,503,](/sites/default/files/tex_cache/cea6856c581a60e79463a84b51968576.png)
![Y(1) = a - 2b + 4c = 16,217,\\
Y(2) = a - b + c = 16,331;\\
a = Y(n - 2) = Y(13) = 15,031,](/sites/default/files/tex_cache/825685069b4b11db71f20d23eb71217d.png)
![Y(14) = a + b + c = 14,786,\\
Y(15) = a + 2b + 4c = 12,569.](/sites/default/files/tex_cache/e4a7e5f2c4a492f2589d88f01e18ebb8.png)
Результаты расчетов занесем в пятую графу таблицы.
Метод простой экспоненциальной средней. Выберем (середину интервала [0; 0,3]). Заметим, что, пользуясь пакетом STATISTICA, следует выбирать оптимальное a из интервала [0; 1]. Для расчета
применим рекуррентную формулу (6.24)
![Y(t) = \alpha X(t) + (1 - a)Y(t - 1), 0 < \alpha < 1, Y(1) = X(1) = 15,6.](/sites/default/files/tex_cache/ba6c6ee5dc41ad8e272a8a16aa9ad9a2.png)
Получаем:
![Y(2) = 0,2X(2) + 0,8Y(1) = 16,0;\\
Y(3) = 0,2X(3) + 0,8Y(2) = 16,0.](/sites/default/files/tex_cache/076c6509ddca48657700abca9ae2f655.png)
и т.д. Результаты занесем в шестую графу таблицы.
Таблица 1
Результаты сглаживания представим в виде графика.
Как можно видеть из рисунка, качество сглаживания всех методов удовлетворительное. Но в целях дальнейшего прогноза ряда метод экспоненциального сглаживания представляется более предпочтительным.