НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию вероятностей. Лекция 11: Числовые характеристики зависимости

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Новосибирский Государственный Университет

Опубликован: 07.04.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 7252 / 1307 | Оценка: 4.56 / 4.32 | Длительность: 16:54:00

Тема: Математика

Специальности: Математик

Теги: алгебра, вычисления, графика, дискретное распределение, замечательный предел, коэффициент асимметрии, несовместное событие, полная группа, распределение бернулли, распределение коши, распределение пуассона, формула полной вероятности, функция Эйлера, цвета, элементы

|

Вам нравится? Нравится 73 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Примеры

Пример 67. Если $\xi$ и $\eta$ суть координаты точки, брошенной наудачу в треугольник с вершинами (2,0) , (0,0) и (0,1) , то их коэффициент корреляции $\rho(\xi,\,\eta)$ отрицателен. Это можно объяснить так: чем больше $\xi$ , тем меньше у $\eta$ возможностей быть большой.

Полезно убедиться в этом, проверив справедливость следующих высказываний. Во-первых,

$f_\xi(x)=\begin{cases} 1-\frac{x}{2}, & 0\le x\le 2, \\ 0, & \text{ иначе}; \end{cases} \quad f_\eta(y)=\begin{cases} 2-2y, & 0\le y\le 1, \\ 0, & \text{ иначе } \end{cases}$

и вычисленные по этим плотностям средние ( вычислить ) равны соответственно ${\mathsf E\,}\xi=2/3$ и ${\mathsf E\,}\eta=1/3$ .

Во-вторых, по определению многомерного равномерного распределения в области ,

${\mathsf E\,}(\xi\,\eta)=\mathop{\int\int}\limits_{\!\!D} x\cdot y \cdot 1\,\,dx\,dy= \int\limits_0^2\;\smash{\int\limits_{0}^{\,1{-}x/2}} x\,y \;dy\,\;dx=\frac16.$

Ковариация (а с ней и коэффициент корреляции) отрицательна.

Пример 68. Найдем коэффициент корреляции между числом выпадений единицы и числом выпадений шестерки при подбрасываниях правильной игральной кости.

Обозначим для $i\in\{1,\,\dots,\,6\}$ через $\xi_i$ случайную величину, равную числу выпадений грани с очками при подбрасываниях кубика. Посчитаем ${{\rm cov}}(\xi_1,\,\xi_6)$ . Каждая из случайных величин $\xi_i$ имеет биномиальное распределение с параметрами и $\frac16$ , поэтому ${\mathsf E\,}\xi_i=\frac{n}{6} , {\mathsf D\,}\xi_i=\frac{5n}{36}$ .

Далее заметим, что $\xi_1+\ldots+\xi_6=n$ . Из-за симметрии кубика математические ожидания ${\mathsf E\,}\xi_1\xi_2$ , $\vphantom{\int^b}{\mathsf E\,}\xi_1\xi_3$ , ${\mathsf E\,}\xi_1\xi_6$ одинаковы, но отличаются от ${\mathsf E\,}\xi_1\xi_1={\mathsf E\,}\xi_1^2={\mathsf D\,}\xi_1+{({\mathsf E\,}\xi_1)}^2= \frac{5n}{36}+\frac{n^2}{36}$ . Посчитаем ${\mathsf E\,}\xi_1(\xi_1+\dots+\xi_6)$ . С одной стороны, это число равно

${\mathsf E\,}\xi_1(\xi_1+\ldots+\xi_6)={\mathsf E\,}\xi_1\cdot n = \frac{n^2}{6}.$

С другой стороны,

${\mathsf E\,}\xi_1(\xi_1+\ldots+\xi_6)={\mathsf E\,}\xi_1^2+5{\mathsf E\,}\xi_1\xi_6 =\frac{5n}{36}+\frac{n^2}{36} + 5{\mathsf E\,}\xi_1\xi_6.$

Отсюда $5{\mathsf E\,}\xi_1\xi_6=\frac{n^2}{6}-\frac{5n}{36}-\frac{n^2}{36}$ , т.е. ${\mathsf E\,}\xi_1\xi_6=\frac{n^2-n}{36}$ . Следовательно, искомый коэффициент корреляции равен

$\rho(\xi_1,\, \xi_6)= \frac{{\mathsf E\,}\xi_1\xi_6-{\mathsf E\,}\xi_1{\mathsf E\,}\xi_6}{\sqrt{\vphantom{a^2}{\mathsf D\,}\xi_1{\mathsf D\,}\xi_6}} =\frac{(n^2-n)/36-n^2/36}{5n/36}=-\frac15.$

Интересно, что полученный коэффициент корреляции не зависит от

.

Пример 69. Вычислим математическое ожидание и дисперсию гипергеометрического распределения. Мы не могли сделать это раньше, так как очень не хотели вычислять следующие суммы:

${\mathsf E\,}\xi=\sum\limits_k k\,\frac{C_K^k C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n}, \qquad {\mathsf E\,}\xi^2=\sum\limits_k k^2\,\frac{C_K^k C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n},$

где, напомним (чтобы читатель окончательно отказался от мысли вычислить эти суммы напрямую), суммирование ведется по целым

таким, что ${0\le k\le K}$ и $0\le n-k\le N-K$ .

Рассмотрим урну, содержащую белых шаров и N-K не белых, и пусть из нее наудачу и без возвращения выбирают по одному шаров. Свяжем случайную величину $\xi$ , равную числу белых шаров среди выбранных, с результатами отдельных извлечений шаров.

Обозначим через $\xi_i$ , где $i=1,\,\ldots,\,n$ , "индикатор" того, что -й по счету вынутый шар оказался белым: $\xi_i=1$ , если при -м извлечении появился белый шар, иначе $\xi_i=0$ . Тогда $\xi=\xi_1+\ldots+\xi_n$ - число появившихся белых шаров, и математическое ожидание считается просто:

${\mathsf E\,} \xi={\mathsf E\,}(\xi_1+\ldots+\xi_n)={\mathsf E\,}\xi_1+\ldots+{\mathsf E\,}\xi_n.$

Убедимся, что случайные величины $\xi_1,\,\ldots,\,\xi_n$ имеют одно и то же распределение Бернулли $\mathrm B_p\mspace{1mu}$ , где $p=K\mspace{2mu}/\mspace{2mu}N$ .

Пронумеруем шары: белые - номерами от одного до , остальные - номерами от K+1 до . Элементарным исходом опыта является набор из номеров шаров в схеме выбора элементов из без возвращения и с учетом порядка. Общее число исходов равно $|\Omega|=C_N^n$ .

Вычислим вероятность события $A_i=\{\xi_i=1\}$ . Событие A_i включает в себя элементарные исходы (наборы), в которых на -м месте стоит любой из номеров белых шаров, а остальные n-1 место занимают любые из оставшихся N-1 номеров. По теореме 1 о перемножении шансов число благоприятных событию A_i исходов есть произведение и $A_{N-1}^{n-1}$ . Здесь есть число способов поставить на -е место один из номеров белых шаров, $A_{N-1}^{n-1}$ - число способов после этого разместить на оставшихся n-1 местах остальные N-1 номеров шаров. Но тогда

$p=\Prob(\xi_i=1)=\Prob(A_i)=\frac{|A_i|}{|\mspace{4mu}\Omega\mspace{4mu}|}=\frac{K C_{N-1}^{n-1}}{C_N^n}}=\frac{K}{N}\,$

что совершенно очевидно: вероятность 20-му шару быть белым, если мы ничего не знаем про первые 19, точно такая же, как вероятность первому шару быть белым и равна отношению числа белых шаров к числу всех.

Вернемся к математическому ожиданию:

${\mathsf E\,} \xi={\mathsf E\,}\xi_1+\ldots+{\mathsf E\,}\xi_n=n{\mathsf E\,}\xi_1=np=\frac{nK}{N}\,.$

Вычислим дисперсию $\xi$ . До сих пор мы не интересовались совместным распределением $\xi_1,\,\ldots,\,\xi_n$ : для вычисления математического ожидания их суммы нам было достаточно знания маргинальных распределений этих величин. Но дисперсия суммы уже не всегда равна сумме дисперсий. Зависимость величин $\xi_1,\,\ldots,\,\xi_n$ очевидна: если, скажем, случилось событие $A_1=\{\xi_1=1\}$ , то вероятность второму шару быть белым уже не равна отношению $K\mspace{2mu}/\mspace{2mu}N$ :

$\Prob(\xi_2=1\,\cond \,\xi_1=1)=\frac{K\mspace{1mu}{-}\mspace{1mu}1}{N\mspace{1mu}{-}\mspace{1mu}1} \neq \frac{K}{N}=\Prob(\xi_2=1).$

Поэтому при вычислении дисперсии будем пользоваться свойством 19. Вычислим ковариацию величин $\xi_i$ и $\xi_j$ , $i\ne j$ . Для этого сначала посчитаем ${\mathsf E\,}(\xi_i\xi_j)$ . Произведение $\xi_i\xi_j$ снова имеет распределение Бернулли: ${\xi_i\xi_j=1,}$ если при $i\mspace{-2mu}$ -м и $j\mspace{-1mu}$ -м извлечениях появились белые шары. Вероятность этого события равна

$\Prob(\xi_i\xi_j=1)=\Prob(A_i\cap A_j)= \frac{|A_i\cap A_j|}{|\,\Omega\,|}=\frac{K(K-1)C_{N-2}^{n-2}}{C_N^n}} =\frac{K(K\mspace{1mu}{-}\mspace{1mu}1)}{N(N\mspace{1mu}{-}\mspace{1mu}1)}.$

Тогда

${{\rm cov}}(\xi_i,\,\xi_j)={\mathsf E\,}(\xi_i\xi_j)-{\mathsf E\,}\xi_i{\mathsf E\,}\xi_j= \frac{K(K\mspace{1mu}{-}\mspace{1mu}1)}{N(N\mspace{1mu}{-}\mspace{1mu}1)}- \frac{K}{N}\,\frac{K}{N}=-\frac{K(N\mspace{1mu}{-}\mspace{1mu}K)}{N^{2\mathstrut}(N\mspace{1mu}{-}\mspace{1mu}1)}.$

Подставляя одинаковые дисперсии ${\mathsf D\,}\xi_i=p(1-p)$ и эти не зависящие от

и

ковариации в формулу дисперсии суммы, получаем

${\mathsf D\,}\xi &=&{\mathsf D\,}(\xi_1+\ldots+\xi_n)= \sum\limits_{i=1}^n{\mathsf D\,}\xi_i + \sum\limits_{i\ne j}{{\rm cov}}(\xi_i,\xi_j)= \\ &=&np(1-p)+n(n-1){{\rm cov}}(\xi_1,\,\xi_2)=\\[2mm] &=&n\,\frac{K}{N}\Bigl(1-\frac{K}{N}\Bigr)- n(n\mspace{1mu}{-}\mspace{1mu}1)\frac{K(N\mspace{1mu}{-}\mspace{1mu}K)}{N^{2\mathstrut}(N\mspace{1mu}{-}\mspace{1mu}1)} =n\,\frac{K}{N}\Bigl(1-\frac{K}{N}\Bigr)\Bigl(1-\frac{n\mspace{1mu}{-}\mspace{1mu}1}{N\mspace{1mu}{-}\mspace{1mu}1}\Bigr).$

Заметим любопытнейшую вещь: если вынимать шары с возвращением, то испытания станут независимыми испытаниями в схеме Бернулли; cтавшие независимыми величины $\xi_i$ в сумме дадут число белых шаров, имеющее биномиальное распределение с параметрами и $p=\frac{K}{N}$ и точно такое же математическое ожидание $np=\frac{nK}{N}$ , как и у числа белых шаров при выборе без возвращения}.

Дисперсия же у числа белых шаров при выборе без возвращения меньше, чем при выборе с возвращением - за счет отрицательной коррелированности слагаемых $\xi_i$ и $\xi_j$ при $i\ne j$ .

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в теорию вероятностей

Числовые характеристики зависимости

Вопросы и ответы