Компьютерное моделирование и решение нелинейных уравнений

Методы Рунге - Кутта

Наиболее эффективными и часто встречаемыми методами решениями задачи Коши являются методы Рунге - Кутта. Они основаны на аппроксимации искомой функции у(х) в пределах каждого шага многочленом, который получен при помощи разложения функции у(х) в окрестности шага h каждой i-ой точки в ряд Тейлора:

( 12.4)

Усекая ряд Тейлора в различных точках и отбрасывая правые члены ряда, Рунге и Кутта получали различные методы для определения значений функции у(х) в каждой узловой точке. Точность каждого метода определяется отброшенными членами ряда.

Метод Рунге - Кутта 1-го порядка (метод Эйлера)

Отбросим в (12.4) члены ряда, содержащие h², h³, h⁴.

Тогда .

Так как

Получим формулу Эйлера:

( 12.5)

Так как точность методов Рунге-Кутта определяется отброшенными членами ряда (12.4), то точность метода Эйлера на каждом шаге составляет .

Алгоритм метода Эйлера можно построить в виде двух программных модулей: основной программы и подпрограммы ELER, реализующей метод.

Рис. 12.10. Схема алгоритма метода Эйлера

Здесь

(x,y) -при вводе начальная точка, далее текущие значения табличной функции,

h -шаг интегрирования дифференциального уравнения,

b -конец интервала интегрирования.

Рассмотрим геометрический смысл метода Эйлера.

Формула Эйлера имеет вид:

где .

Тогда формула Эйлера принимает вид:

где

- тангенс угла наклона касательной к искомой функции у(x) в начальной точке каждого шага.

Рис. 12.11. Геометрический смысл метода Эйлера

В результате в методе Эйлера на графике (рис 12.10) вся искомая функция y(x) на участке [a,b] аппроксимируется ломаной линией, каждый отрезок которой на шаге h линейно аппроксимирует искомую функцию. Поэтому метод Эйлера получил еще название метода ломаных.

В методе Эйлера наклон касательной в пределах каждого шага считается постоянным и равным значению производной в начальной точке шага x_i. В действительности производная, а, значит, и тангенс угла наклона касательной к кривой y(x) в пределах каждого шага меняется. Поэтому в точке x_i+h наклон касательной не должен быть равен наклону в точке x_i. Следовательно, на каждом шаге вносится погрешность.

Первый отрезок ломаной действительно касается искомой интегральной кривой y(x) в точке (x₀,y₀). На последовательных же шагах касательные проводятся из точек (x_i,y_i), подсчитанных с погрешностью. В результате с каждым шагом ошибки накапливаются.

Основной недостаток метода Эйлера - систематическое накопление ошибок. Поэтому метод Эйлера рекомендуется применять для решения дифференциальных уравнений при малых значениях шага интегрирования h.