Компьютерное моделирование и решение нелинейных уравнений

Численные методы решения дифференциальных уравнений первого порядка

Общий вид дифференциального уравнения

( 12.1)

Нормальная форма дифференциального уравнения

( 12.2)

где

y=y(x) -неизвестная функция, подлежащая определению,

f(x,y) - правая часть дифференциального уравнения в нормальной форме, равная первой производной функции y(x). В функцию f(x,y) помимо аргумента x входит и сама неизвестная функция y(x).

Пример:

- общий вид дифференциального уравнения первого порядка,

- нормальная форма этого же уравнения.

Если неизвестная функция у зависит от одного аргумента x, то дифференциальное уравнение вида

Если функция у зависит от нескольких аргументов, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Общим решением обыкновенного дифференциального уравнения

Рис. 12.8.

При решении прикладных задач ищут частные решения дифференциальных уравнений. Выделение частного решения из семейства общих решений осуществляется с помощью задания начальных условий:

( 12.3)

Нахождение частного решения дифференциального уравнения

( 12.4)

( 12.3)

В численных методах задача Коши ставится следующим образом: найти табличную функцию которая удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению (12.2) и начальному условию (12.3) на отрезке [a,b] с шагом h, то есть найти таблицу

Здесь

h - шаг интегрирования дифференциального уравнения,

a=x₀ - начало участка интегрирования уравнения,

b=x_n - конец участка,

n=(b-a)/h - число шагов интегрирования уравнения.

На графике (рис 12.9) решение задачи Коши численными методами представляется в виде совокупности узловых точек с координатами (x_i ,y_i), .

Рис. 12.9.