Одновременные уравнения. Методы идентификации

7.1. Уравнения со случайными объясняющими переменными

Предположим, что в регрессионной модели (3.1)

- столбец, состоящий из значений -й случайной переменной в наблюдениях; - номер наблюдения - теоретические значения коэффициентов модели; - ошибка в -м наблюдении.

Ранее считалось, что значения объясняющих переменных постоянные, т.е. не изменились бы при проведении новой серии из экспериментов. Но при этом повторении изменились бы случайные ошибки , а следовательно, и результирующая переменная .

Необходимость рассмотрения уравнений со случайными объясняющими переменными обусловлена тем, что при исследовании временных рядов многие объясняющие переменные сами представляют временной ряд и предполагать их полную предсказуемость (детерминированность) было бы неверно.

Возможность применения обычного метода наименьших квадратов (МНК) в этом случае зависит от наличия корреляции между объясняющими переменными и случайными ошибками . Если корреляция отсутствует, то применение МНК дает несмещенные и состоятельные оценки коэффициентов регрессии . Доказательство этого факта является простым обобщением соответствующего доказательства для детерминированного случая. Однако если объясняющие переменные коррелируют с ошибками регрессии в прошлых наблюдениях, то доказательство состоятельности оценок коэффициентов становится неверным. Более того, если объясняющие переменные коррелируют с ошибками регрессии в текущих наблюдениях, то нарушается и свойство несмещенности оценок МНК.

Существует ряд причин возникновения в экономических моделях зависимости между объясняющими переменными и случайными ошибками . Например, какой-либо фактор может одновременно влиять на поведение случайной ошибки и объясняющей переменной.

Предположим, что строится линейная модель прогноза будущих розничных цен на некоторый сельскохозяйственный продукт после переработки, например, на подсолнечное масло. При этом в качестве единственной объясняющей переменной принимается средняя оптовая закупочная цена на семена подсолнечника. Очевидно, что урожайность подсолнечника является случайной величиной, которая изменяется от года к году и влияет и на оптовую закупочную цену семян подсолнечника и на отклонение фактической розничной цены в данном году от расчетной модельной розничной цены, учитывающей только размер закупочных цен. Данное отклонение отражает такие неучтенные факторы рынка, как повышенный спрос в связи с неурожаем, или незначительное снижение, или даже рост розничных цен на монопольном рынке при хорошем урожае подсолнечника. При среднем урожае закупочные цены будут средними и ошибка модели минимальна, при плохом и хорошем урожае будут как изменяться закупочные цены, так и возрастать ошибки модели.

Довольно часто причиной корреляции между факторами и ошибками уравнения регрессии является неправильное измерение объясняющих переменных. В модель подставляются не истинные, а искаженные наблюдения. Ошибка наблюдения в модели в таком случае состоит из двух слагаемых: ошибок регрессии и ошибок при расчете факторов. Отсюда коррелированность факторов и ошибок модели, величина которой тем больше, чем больше дисперсия ошибок расчета факторов.

Для устранения возникающих трудностей построения уравнения регрессии при наличии коррелированности факторов и ошибок модели используют метод инструментальных переменных.

7.2. Метод инструментальных переменных

Сущность метода состоит в замене объясняющих переменных, для которых нарушаются предположения МНК, на некие новые переменные, для которых эти предположения выполняются. Фактически происходит признание того, что выбраны не совсем удачные переменные, и предпринимается попытка исправить эту ошибку. Новые инструментальные переменные должны коррелировать со старыми переменными, но быть независимыми от ошибок модели.

Рассмотрим упрощенную кейнсианскую модель формирования доходов в закрытой экономике без государственного вмешательства:

(7.1)

где

	-	совокупный выпуск;
	-	объем потребления;
	-	объем инвестиций.

Коэффициент называют склонностью к потреблению. Конечно, в более полных моделях этот коэффициент зависит от многих факторов, например от ставки банковского процента или уровня инфляции, но в данной модели будем считать его постоянным.

После подстановки первого уравнения во второе получаем значение выпуска в любой момент времени

(7.2)

Из уравнения (7.2) следует, что при увеличении объема инвестиций на единицу совокупный выпуск возрастает на единиц. Это и есть знаменитый мультипликатор Кейнса. Однако величина зависит еще и от случайной составляющей , и при изменении потребления в данном году на случайную величину совокупный выпуск изменяется на Таким образом, в первом уравнении модели (7.1) объясняющая переменная автоматически оказывается коррелированной со случайным членом . При этом нарушается четвертое условие Гаусса - Маркова, и МНК-оценки коэффициентов будут смещенными, а расчет средних квадратических отклонений коэффициентов - некорректным.

Инструментальной переменной в данном случае следует выбрать объем инвестиций , который не коррелирует со случайными ошибками модели потребления , но при этом тесно коррелирует с совокупным выпуском . Подставляя в системе (7.1) второе уравнение в первое и проводя упрощения, получаем:

(7.3)

Для уравнения (7.3) корреляция между вторым и третьим слагаемыми отсутствует и МНК становится применим. В результате применения МНК получаем несмещенные и состоятельные оценки коэффициентов После этого получить исходные коэффициенты и не составит особого труда.