НОУ ИНТУИТ | Введение в вычислительную математику. Лекция 9: Численные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Московский физико-технический институт

Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: платный | Студентов: 131 / 30 | Оценка: 4.50 / 4.33 | Длительность: 24:00:00

ISBN: 978-5-9556-0065-9

Темы: Алгоритмы и дискретные структуры, Математика

Специальности: Программист, Математик

|

Вам нравится? Нравится 54 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Аннотация: Подробно рассматриваются методы типа Рунге - Кутты, менее подробно — Адамса. Формулируются и доказываются утверждения об устойчивости методов Рунге - Кутты на устойчивых и нейтральных по устойчивости траекториях.

Ключевые слова: задача Коши, сходимость, место, аппроксимация, устойчивость, алгоритмическая, дифференциальное уравнение, разложение в ряд, ПО, равенство, значение, метод Эйлера, жесткие системы ОДУ, численное решение уравнений, интеграл, выражение, методы Рунге - Кутты, коэффициенты, таблицы Бутчера, погрешность, связь, информация, методы Адамса, коэффициентами системы, барьер, квадратурные формулы интерполяционного типа, константы, интерполяционный полином, разделенные разности, разность, метод трапеций, шаг вычислений, функция, максимум, доказательство, неравенство, множитель, матрица, траектория, устойчивые траектории, определение, вектор, нейтральные траектории, точность, разделяемая переменная

8.1. Базовые понятия

Рассмотрим численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) вида

$\begin{gather*} \frac{d u(t)}{d t} = f(t, u), \quad t > 0, \\ u(0) = u_0, \end{gather*} $$

( 8.1)

а также систем ОДУ

$\begin{gather*} \frac{d {\mathbf{u}}(t)}{d t} = {\mathbf{f}}(t, {\mathbf{u}}), \quad \\ {\mathbf{u}}(0) = {\mathbf{u}}_0, \end{gather*}$

где

$\mathbf{u} = {(u_1, u_2, \ldots , u_m)}^{T}, \mathbf{f} = {(f_1, f_2, \ldots , f_m)}^{T}$

- векторы столбцы искомых функций и правых частей соответственно.

К аналогичной форме приводится задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (системы уравнений) порядка выше первого, вида

$\begin{gather*} \frac{d^m u}{d t^m} = g\left({t, u, \frac{d u}{d t}, \ldots , \frac{d^{m - 1} u}{d t^{m - 1}}}\right), \quad t > 0, \quad \\ u(0) = a_0, \quad \\ \frac{d u}{d t}(0) = a_1, \ldots , \frac{{d^{m - 1} u}}{{d t^{m - 1}}}(0) = a_{m - 1}, \end{gather*}$

если положить

$\begin{gather*} u_1 = u, u_2 = \frac{d u_1}{d t}, u_3 = \frac{d u_2 }{d t}, \ldots , u_m = \frac{d u_{m - 1}}{d t}, \\ \frac{{d u_m}}{{d t}} = g(t, u_1, u_2, \ldots , u_m), \\ u_i (0) = a_{i - 1}, i = 1, 2, \ldots , m. \end{gather*}$

Введем в расчетной области $t \in \left[{0, T}\right]$ точки (узлы расчетной сетки) $\{ t_{n} = n\tau , n = 0, 1, \dots , N\},$ в которых вычисляется искомое решение. Совокупность узлов называется расчетной сеткой, (сеточной областью), $\tau$ — шагом интегрирования. Здесь для простоты введена равномерная сетка. В реальных расчетах применяются и неравномерные сетки.

Введем сеточную функцию $u^{\tau},$ определенную в узлах сетки и представляющую собой совокупность приближенных значений искомой функции, $U^{\tau}$ — проекцию точного решения искомой задачи на сетку и $f^{\tau}$ — значения правой части в узлах сетки.

Введем вслед за [8.1] также операторное обозначение дифференциальной задачи

( 8.2)

где

$L(u) = \left\{ \begin{array}{cc} {\frac{d u}{d t} - f(t, u), } & {t > 0;} \\ {u(0), } & {t = 0;} \\ \end{array} \right. F = \left\{ \begin{array}{cc} {0, } & {t > 0;} \\ {u_0, } & {t = 0;} \\ \end{array} \right.$

и аппроксимирующей разностной задачи

${L_{\tau}(u^{\tau}) = F_{\tau}, }$

( 8.3)

где $L_{\tau }$ — обозначения разностного оператора, $F_{\tau }$ — проекция F на расчетную сетку. Заметим, что u и $u^{\tau }$ являются элементами соответственно функционального и конечномерного пространств. Определим основные понятия теории разностных схем [8.1], [8.2].

Определение. Решение задачи (8.3) $u^{\tau }$ сходится при ${\tau}\to 0$ к решению исходной задачи (8.2), если

$\left\|{u^{\tau}- U^{\tau}}\right\| \to 0$

при ${\tau}\to 0.$

При этом, если имеет место оценка

$\left\|{u^{\tau}- U^{\tau}}\right\| \le C {\tau}^{p}(C \ne C({\tau})),$

то имеет место сходимость порядка p.

Определение. Говорят, что задача (8.3) аппроксимирует задачу (8.2) на ее решении, если невязка

$\left\|{r_{\tau}}\right\| \to 0$

при ${\tau}\to 0,$ где $r_{\tau}\equiv L_{\tau}(U^{\tau}) - F_{\tau}$ ; при этом, если имеет место оценка

$\left\|{r_{\tau}}\right\| \le C_1 {\tau}^{p}(C_1 \ne C_1 ({\tau})),$

то говорят, что имеет место аппроксимация порядка p.

Определение. Задача (8.3) устойчива, если из соотношений

$L_{\tau }(u^{\tau }) - F_{\tau } = \xi _{\tau } , \\ L_{\tau }(v^{\tau }) - F_{\tau } = \eta _{\tau }$

следует

$\left\|{u^{\tau}- v^{\tau}}\right\| \le C_2 \left({\left\|{\xi_{\tau}}\right\| + \left\|{\eta_{\tau}}\right\|}\right), C_2 \ne C_2 ({\tau}).$

Теорема 1 (В.С.Рябенького - П. Лакса). Решение задачи (8.3) сходится к решению исходной задачи (8.2), если задача (8.3) устойчива и аппроксимирует задачу (8.2); если аппроксимация имеет порядок p, то сходимость также имеет порядок p.

Доказательство.

В силу аппроксимации имеем оценку: $\left\|{r_{\tau}}\right\| \le C_1 {\tau}^{p} .$ Тогда из определения устойчивости, положив $v^{\tau } = U^{\tau },$ получим

$\left\|{u_{\tau}- U_{\tau}}\right\| \le C_2 \left\|{r_{\tau}}\right\| \le C_2 C_1 {\tau}^{p} = C{\tau}^{p},$

поскольку в данном случае

$|| \eta ^{\tau } || = 0$

и, кроме того,

$|| r_{\tau } || = || \xi _{\tau } ||.$

Приведем примеры простейших разностных уравнений, аппроксимирующих (8.1):

$\begin{gather*} \frac{u_{n + 1} - u_n}{{\tau}} = f(t_n, u_n), 0 \le n \le N - 1, \\ \frac{u_{n + 1} - u_n}{{\tau}} = f(t_n, u_{n + 1}), 0 \le n \le N - 1, \\ \frac{u_{n + 1} - u_{n - 1}}{2{\tau}} = f(t_n, u_n), 1 \le n \le N - 1. \end{gather*}$

Первая из схем называется явной (явная схема Эйлера), вторая — неявной (неявная схема Эйлера). Алгоритмическая реализация первой схемы — бегущий счет (рекуррентная формула), второй — решение нелинейного алгебраического уравнения на каждом временном шаге.

Для реализации третьей схемы необходимо задание функции u_n в двух точках: t₀ и t₁ . Один из возможных вариантов — решение на первом шаге нелинейного уравнения вида:

$\frac{u_{n + 1} - u_{n - 1}}{2{\tau}} = \frac{1}{2} [f(t_{n - 1}, u_{n - 1}) + f(t_{n + 1}, u_{n + 1})]$

при n = 1.

В данном случае проявляется несовпадение формальных порядков дифференциального и разностного уравнений (дифференциальное уравнение первого порядка, разностное — второго).

Один из первых методов приближенного решения обыкновенных дифференциальных уравнений — разложение в ряд Тейлора.

Дифференцируя по t исходное уравнение (8.1), получим

u'' = f'_t(t, u) + f'_t(t, u) u', 
u''' = f''_tt(t, u) + 2f''_tu(t, u) u' + f''_uu(t, u) (u')² + f'_u(t, u) u'', ...

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в вычислительную математику

Численные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений

8.1. Базовые понятия

Вопросы и ответы