Опубликован: 08.04.2009 | Доступ: свободный | Студентов: 485 / 0 | Длительность: 17:26:00
Специальности: Программист
Лекция 4:

Сортировка

< Лекция 3 || Лекция 4: 12345 || Лекция 5 >

4.1. Квадратичные алгоритмы

4.1.1. Пусть {a[1]},\ldots,{a[n]} - целые числа. Требуется построить массив {b[1]},\ldots,{b[n]}, содержащий те же числа, для которого {b[1]}\le\ldots\le{b[n]}.

Замечание. Среди чисел {a[1]}\ldots{a[n]} могут быть равные. Требуется, чтобы каждое целое число входило в {b[1]}\ldots{b[n]} столько же раз, сколько и в {a[1]}\ldots{a[n]}.

Решение. Удобно считать, что числа {a[1]}\ldots{a[n]} и {b[1]}\ldots{b[n]} представляют собой начальное и конечное значения массива x. Требование " a и b содержат одни и те же числа" будет заведомо выполнено, если в процессе работы мы ограничимся перестановками элементов x.

k := 0;
{k наименьших элементов массива установлены на свои места}
while k <> n do begin
| s := k + 1; t := k + 1;
| {x[s] - наименьший среди x[k+1]...x[t] }
| while t<>n do begin
| | t := t + 1;
| | if x[t] < x[s] then begin
| | | s := t;
| | end;
| end;
| {x[s] - наименьший среди x[k+1]..x[n] }
| ... переставить x[s] и x[k+1];
| k := k + 1;
end;

4.1.2. Дать другое решение задачи сортировки, использующее инвариант "первые k элементов упорядочены" ( {x[1]}\le\ldots\le{x[k]} ).

Решение.

k:=1;
{первые k элементов упорядочены}
while k <> n do begin
| t := k+1;
| {k+1-ый элемент продвигается к началу, пока не займет
|   надлежащего места, t - его текущий номер}
| while (t > 1) and (x[t] < x[t-1]) do begin
| | ...поменять x[t-1] и x[t];
| | t := t - 1;
| end;
end;

Замечание. Дефект программы: при ложном выражении (t>1) проверка {x[t]}<{x[t-1]} требует несуществующего значения x[0].

Оба предложенных решения требуют числа действий, пропорционального {n}^2. Существуют более эффективные алгоритмы.

4.2. Алгоритмы порядка n log n

4.2.1. Предложить алгоритм сортировки за время \text{n log n} (число операций при сортировке n элементов не больше \text{Cn log n} для некоторого C и для всех n ).

Мы предложим два решения.

Решение 1 (сортировка слиянием).

Пусть k - положительное целое число. Разобьем массив {x[1]}\ldots{x[n]} на отрезки длины k. (Первый - {x[1]}\ldots{x[k]}, затем {x[k+1]}\ldots{x[2k]} и так далее.) Последний отрезок будет неполным, если n не делится на k. Назовем массив k-упорядоченным, если каждый из этих отрезков в отдельности упорядочен. Любой массив 1-упорядочен. Если массив k-упорядочен и {n}\le{k}, то он упорядочен.

Мы опишем, как преобразовать k-упорядоченный массив в 2k-упорядоченный (из тех же элементов). С помощью этого преобразования алгоритм записывается так:

k:=1;
{массив x является k-упорядоченным}
while k < n do begin
| ...преобразовать k-упорядоченный массив в 2k-упорядоченный;
| k := 2 * k;
end;

Требуемое преобразование состоит в том,что мы многократно "сливаем" два упорядоченных отрезка длины не больше k в один упорядоченный отрезок. Пусть процедура

{слияние (p,q,r: integer)}
при {p}\le{q}\le{r} сливает отрезки {x[p+1]}\ldots{x[q]} и {x[q+1]}\ldots{x[r]} в упорядоченный отрезок {x[p+1]}\ldots{x[r]} (не затрагивая других частей массива x ).


Тогда преобразование k -упорядоченного массива в 2k -упорядоченный осуществляется так:

t:=0;
{t кратно 2k или t = n, x[1]..x[t] является
 2k-упорядоченным; остаток массива x не изменился}
while t + k < n do begin
| p := t;
| q := t+k;
| r := min (t+2*k, n);
| {min(a,b) - минимум из a и b}
| слияние (p,q,r);
| t := r;
end;

Слияние требует вспомогательного массива для записи результатов слияния - обозначим его b. Через p0 и q0 обозначим номера последних элементов участков, подвергшихся слиянию, s0 - последний записанный в массив b элемент. На каждом шаге слияния производится одно из двух действий:

b[s0+1]:=x[p0+1];
p0:=p0+1;
s0:=s0+1;

или

b[s0+1]:=x[q0+1];
q0:=q0+1;
s0:=s0+1;

(Любители языка C написали бы в этом случае b[++s0]=x[++p0] и b[++s0]=x[++q0].)

< Лекция 3 || Лекция 4: 12345 || Лекция 5 >