Разные алгоритмы на графах

9.1. Кратчайшие пути

В этом разделе рассматриваются различные варианты одной задач. Пусть имеется n городов, пронумерованных числами от 1 до n. Для каждой пары городов с номерами i, j в таблице a[i][j] хранится целое число - цена прямого авиабилета из города i в город j. Считается, что рейсы существуют между любыми городами, при всех i, a[i][j] может отличаться от a[j][i]. Наименьшей стоимостью проезда из i в j считается минимально возможная сумма цен билетов для маршрутов (в том числе с пересадками), ведущих из i в j. (Она не превосходит a[i][j], но может быть меньше.)

В предлагаемых ниже задачах требуется найти наименьшую стоимость проезда для некоторых пар городов при тех или иных ограничениях на массив a и на время работы алгоритма.

9.1.1. Предположим, что не существует замкнутых маршрутов, для которых сумма цен отрицательна. Доказать, что в этом случае маршрут с наименьшей стоимостью существует.

Решение. Маршрут длиной больше n всегда содержит цикл, поэтому минимум можно искать среди маршрутов длиной не более n, а их конечное число.

Во всех следующих задачах предполагается, что это условие (отсутствие циклов с отрицательной суммой) выполнено.

9.1.2. Найти наименьшую стоимость проезда из 1-го города во все остальные за время .

Решение. Обозначим через МинСт(1,s,k) наименьшую стоимость проезда из 1 в s менее чем с k пересадками. Тогда выполняется такое соотношение:

k:= 1;
for i := 1 to n do begin x[i] := a[1][i]; end;
{инвариант: x[i] = МинСт(1,i,k)}
while k <> n do begin
| for s := 1 to n do begin
| | y[s] := x[s];
| | for i := 1 to n do begin
| | | if y[s] > x[i]+a[i][s] then begin
| | | | y[s] := x[i]+a[i][s];
| | | end;
| | end
| | {y[s] = МинСт(1,s,k+1)}
| end;
| for i := 1 to n do begin x[s] := y[s]; end;
| k := k + 1;
end;

Приведенный алгоритм называют алгоритмом динамического программирования, или алгоритмом Форда-Беллмана.

9.1.3. Доказать, что программа останется правильной, если не заводить массива y, а производить изменения в самом массиве x (заменив в программе все вхождения буквы y на x и затем удалить ставшие лишними строки).

Решение. Инвариант будет таков:

Этот алгоритм может быть улучшен в двух отношениях: можно за то же время найти наименьшую стоимость проезда для всех пар i, j (а не только при ), а можно сократить время работы до . Правда, в последнем случае нам потребуется, чтобы все цены a[i][j] были неотрицательны.

9.1.4. Найти наименьшую стоимость проезда для всех i, j за время .

Решение. Для через A(i,j,k) обозначим наименьшую стоимость маршрута из i в j, если в качестве пересадочных разрешено использовать только пункты с номерами не больше k. Тогда

A(i,j,0) = a[i][j],
A(i,j,k+1)=min(A(i,j,k), A(i,k+1,k)+{A(k+1,j,k))

(два варианта соответствуют неиспользованию и использованию пункта k+1 в качестве пересадочного; отметим, что в нем незачем бывать более одного раза).

Этот алгоритм называют алгоритмом Флойда.

9.1.5. Как проверить за действий, имеет ли граф с n вершинами циклы с отрицательной суммой?

Указание. Можно применять алгоритм Флойда, причем разрешать в , пока не появится первый отрицательный цикл.

9.1.6. Имеется валют и таблица обменных курсов (сколько флоринов дают за талер и т.п.). Коммерсант хочет неограниченно обогатиться, обменивая свой начальный капитал туда-сюда по этим курсам. Как проверить, возможно ли это?

Указание. После логарифмирования деньги уподобляются расстояниям.