Сортировка

4.3. Применения сортировки.

4.3.1. Найти количество различных чисел среди элементов данного массива. Число действий порядка . (Эта задача уже была в "Переменные, выражения, присваивания" .)

Решение. Отсортировать числа, а затем посчитать количество различных, просматривая элементы массива по порядку.

4.3.2. Дано n отрезков на прямой ( ). Найти максимальное k, для которого существует точка прямой, покрытая k отрезками ("максимальное число слоев"). Число действий - порядка .

Решение. Упорядочим все левые и правые концы отрезков вместе (при этом левый конец считается меньше правого конца, расположенного в той же точке прямой). Далее двигаемся слева направо, считая число слоев. Встреченный левый конец увеличивает число слоев на 1, правый - уменьшает. Отметим, что примыкающие друг к другу отрезки обрабатываются правильно: сначала идет левый конец (правого отрезка), а затем - правый (левого отрезка).

4.3.3. Дано точек на плоскости. Указать -звенную несамопересекающуюся незамкнутую ломаную, проходящую через все эти точки. (Соседним отрезкам ломаной разрешается лежать на одной прямой.) Число действий порядка .

Решение. Упорядочим точки по -координате, а при равных -координатах - по -координате. В таком порядке и можно проводить ломаную.

4.3.4. Та же задача, если ломаная должна быть замкнутой.

Решение. Возьмем самую левую точку (то есть точку с наименьшей -координатой) и проведем из нее лучи во все остальные точки. Теперь упорядочим эти лучи снизу вверх, а точки на одном луче упорядочим по расстоянию от начала луча (это делается для всех лучей, кроме нижнего и верхнего). Ломаная выходит из выбранной (самой левой) точки по нижнему лучу, затем по всем остальным лучам (в описанном порядке) и возвращается по верхнему лучу.

4.3.5. Дано точек на плоскости. Построить их выпуклую оболочку - минимальную выпуклую фигуру, их содержащую. (Резиновое колечко, натянутое на вбитые в доску гвозди - их выпуклая оболочка.) Число операций не более .

Указание. Упорядочим точки - годится любой из порядков, использованных в двух предыдущих задачах. Затем, рассматривая точки по очереди, будем строить выпуклую оболочку уже рассмотренных точек. (Для хранения выпуклой оболочки полезно использовать дек, см. "Типы данных" . Впрочем, при упорядочении точек по углам это излишне.)

4.4. Нижние оценки для числа сравнений при сортировке

Пусть имеется различных по весу камней и весы, которые позволяют за одно взвешивание определить, какой из двух выбранных нами камней тяжелее. (В программистских терминах: мы имеем доступ к функции тяжелее(i,j:1..n):boolean.) Надо упорядочить камни по весу, сделав как можно меньше взвешиваний (вызовов функции тяжелее ).

Разумеется, число взвешиваний зависит не только от выбранного нами алгоритма, но и от того, как оказались расположены камни. Сложностью алгоритма назовем число взвешиваний при наихудшем расположении камней.

4.4.1. Доказать, что сложность произвольного алгоритма сортировки камней не меньше ! (где ).

Решение. Пусть имеется алгоритм сложности не более . Для каждого из ! возможных расположений камней запротоколируем результаты взвешиваний (обращений к функции тяжелее ); их можно записать в виде последовательности из не более чем нулей и единиц. Для единообразия дополним последовательность нулями, чтобы ее длина стала равной . Тем самым у нас имеется ! последовательностей из нулей и единиц. Все эти последовательности разные - иначе наш алгоритм дал бы одинаковые ответы для разных порядков (и один из ответов был бы неправильным). Получаем, что ! - что и требовалось доказать.

Другой способ объяснить то же самое - рассмотреть дерево вариантов, возникающее в ходе выполнения алгоритма, и сослаться на то, что дерево высоты не может иметь более листьев.

Несложно заметить, что при подходящем , поскольку в сумме

Тем самым любой алгоритм сортировки, использующий только сравнения элементов массива и их перестановки, требует не менее действий, так что наши алгоритмы близки к оптимальным. Однако алгоритм сортировки, использующий другие операции, может действовать и быстрее. Вот один из примеров.

4.4.2. Имеется массив целых чисел , причем все числа неотрицательны и не превосходят m. Отсортировать этот массив; число действий порядка .

Решение. Для каждого числа от 0 до m подсчитываем, сколько раз оно встречается в массиве. После этого исходный массив можно стереть и заполнить заново в порядке возрастания, используя сведения о кратности каждого числа.

Отметим, что этот алгоритм не переставляет числа в массиве, как большинство других, а "записывает их туда заново".

Есть также метод сортировки, в котором последовательно проводится ряд "частичных сортировок" по отдельным битам. Начнем с такой задачи.

4.4.3. В массиве целых чисел переставить элементы так, чтобы четные числа шли перед нечетными (не меняя взаимный порядок в каждой из групп).

Решение. Сначала спишем (во вспомогательный массив) все четные, а потом - все нечетные.

4.4.4. Имеется массив из чисел от до , каждое из которых мы будем рассматривать как -битовое слово из нулей и единиц. Используя проверки " -ый бит равен " и " -ый бит равен " вместо сравнений, отсортировать все числа за время порядка .

Решение. Отсортируем числа по последнему биту (см. предыдущую задачу), затем по предпоследнему и так далее. В результате они будут отсортированы. В самом деле, индукцией по легко доказать, что после шагов любые два числа, отличающиеся только в последних битах, идут в правильном порядке. (Вариант: после шагов -битовые концы чисел идут в правильном порядке.)

Аналогичный алгоритм может быть применен для -ичной системы счисления вместо двоичной. При этом полезна такая вспомогательная задача:

4.4.5. Даны чисел и функция , принимающая (на них) значения . Требуется переставить числа в таком порядке, чтобы значения функции не убывали (сохраняя порядок для чисел с равными значениями ). Число действий порядка .

Указание. Завести списков суммарной длины (как это сделать, смотри в "Типы данных" о типах данных) и помещать в -ый список числа, для которых значение функции равно . Вариант: посчитать для всех , сколько имеется чисел с , после чего легко определить, с какого места нужно начинать размещать числа с .

4.4.6. Даны целых чисел в диапазоне от до . Как отсортировать их, сделав порядка действий?