Лекция 4: Параллельные и сетевые технологии решения задач линейного программирования

Параллельный аналог "симплекс-метода"

Пример

Рассмотрим задачу линейного программирования

Z = 26x + 20y + 21z -> max (4.6)

при ограничениях

q₁ = 2x + 7y - 76z + 222 >= 0

q₂ = - 8x +9y - 8z + 64 >= 0

q₃ = - 8x + 13y -24z + 96 >= 0 (4.7)

q₄ = - x - 6y - z + 70 >= 0

q₅ = - 2x - 7y - 2z + 90 >= 0

q₆ = 33x + 3y +22z - 165 >= 0

и при условии x>= 0, y >= 0, z >= 0.

Ограничения и условия образуют многогранник R(ABCDEFGHKL) допустимых решений, представленный на рис. 4.4.

Формально мы не знаем R, и множество граней — действительных и возможных — этого многогранника представлено системой уравнений:

q₁ = 2x + 7y - 76z + 222 = 0

q₂ = - 8x +9y - 8z + 64 = 0

q₃ = - 8x + 13y -24z + 96 = 0

q₄ = - x - 6y - z + 70 = 0

q₅ = - 2x - 7y - 2z + 90 = 0 (4.8)

q₆ = 33x + 3y +22z - 165 = 0

q₇ = x = 0

q₈ = y = 0

q₉ = z = 0

В результате решения первой же подсистемы трех уравнений (n = 3) системы (4.8) получаем координаты вершины E многогранника R

Постараемся "сместиться" в ту вершину, смежную вершине E, т.е. соединенную с ней ребром (в одну из вершин A, D, L, F ), в которой целевая функция Z имеет максимальное значение, превышающее Z(E).

Ребра, исходящие из вершины, определяются подсистемами n-1 плоскостей, пересекающихся в этой вершине, т.е. образующими ее.

В данном случае подсистема . определяет несуществующее ребро. Пока мы знаем это только по рисунку. Подсистема

определяет ребро EA, подсистема определяет ребро ED. А вот ребра EL и EF мы пока не знаем, т.к. не знаем (формально, а не по рисунку!) все плоскости (плоскость q₅ ), пересекающиеся в E. Это значит, что из каждой вершины в общем случае исходят не менее n ребер, а сколько в действительности — предстоит уточнить. (Представьте себе R — бриллиант классической огранки.)

Значит, q₁, q₂, q₃ — это лишь наше начальное представление о множестве плоскостей — граней, пересекающихся в вершине E. Нам необходимо развить это представление до полного.

Тогда выясним все множество граней, образующих вершину E, подстановкой ее координат во все другие уравнения (9.8) и испытанием на получение тождества. Находим . Добавляем q₅ в (4.9), полагаем полностью известным число p = 4 ребер, образующих вершину E. Т.е. вместо (4.9) получаем

Каждую возможную грань, определяемую двумя (n-1) уравнениями плоскостей из (4.10), будем решать совместно со всеми плоскостями из (4.8), не вошедшими в (4.10), — с гранями q₄, q₆, q₇, q₈, q₉.

Первая такая система имеет вид

Ее решение (535, 8,7, -517,2) содержит отрицательную составляющую. Т.е. эта точка не принадлежит R. Если бы решение было не отрицательным, мы должны были бы проверить выполнение всех ограничений (4.7), не представленных в (4.11).

Можно показать, что в выпуклом многограннике несуществующее ребро не вызовет появления "ложной" вершины, и достаточно проверить (4.7).

Системы

имеют не положительное решение.

Следующая испытываемая система линейных уравнений на основе двух уравнений из (4.10) и не входящих в (4.10) уравнений из (4.8), имеет вид

Ее решение — приблизительно точка (5,2, 9,4, 4) не является вершиной R, т.к. не удовлетворяет всем ограничениям (9.7), q₅(5,2, 9,4, 4) < 0.

Следующая испытываемая система имеет вид

Ее решением является вершина A (3, 0, 3), Z(A) = 141 < 592.

Т.к. мы нашли вершину на "другом конце" ребра, анализ данного ребра прекращаем.

Следующее исследуемое ребро, исходящее из вершины E, определяется подсистемой

которая должна решаться совместно с уравнениями q₄ = 0, q₆ = 0, q₇ = 0, q₈ = 0, q₉ = 0.

Первая же система . определяет вершину L (6, 10, 4). Однако Z(L) = 440 < 592.

Следующее возможное ребро, исходящее из вершины E, определяется комбинацией

Решая ее совместно с другими гранями R, - q₄ = 0, q₆ = 0, q₇ = 0, q₈ = 0, q₉ = 0, пытаемся найти другую вершину в R, смежную E.