Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского
Опубликован: 26.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1410 / 126 | Оценка: 3.69 / 3.54 | Длительность: 14:45:00
ISBN: 978-5-9556-0072-7
Специальности: Математик
Лекция 4:

Устойчивость и эффективность поведения сторон: совместимость свойств устойчивости и эффективности

< Лекция 3 || Лекция 4: 1234 || Лекция 5 >

Проблема эффективности свойств устойчивости и эффективности решений

Пример 1.2 ( Дуополия3 Дуополия - рынок, на котором действуют всего два продавца, которые не могут игнорировать друг друга. Курно4Курно Антуан Огюстен (1801-1877) - французский математик и экономист, предшественник математической школы в экономике. ). Рассмотрим один из вариантов модели рынка однородного товара, согласно которой на рынке действуют две фирмы P1 и P2, предлагающие для продажи в рассматриваемом периоде соответственно q1 и q2 единиц указанного товара (который мы будем считать сколь угодно дробимым ). Таким образом, любое решение производителей P1 и P2, задаваемое парой q1,q2, определяет общее количество товара

Q=q_1+q_2,\quad q_1\ge 0,\, q_2\ge 0, ( 3.5)
предлагаемого для продажи в данный период. Примем, что клиринговая цена p (т.е. цена, по которой осуществляются расчеты по сделкам) зависит от количества поступившего на рынок товара и эта зависимость определяется выражением
p(Q)= \left\{\begin{aligned}
&\gamma (a-Q),& Q<a,\\
&0, &Q\ge a.\\
\end{aligned} \right. ( 3.6)

Замечание 1.10 (о выборе диапазона цен). Как следует из (3.6), с ростом объема Q товара, поступающего на рынок, цена p линейно убывает до нулевого значения и остается на этой отметке при дальнейшем увеличении объемов поступлений. Разумеется, что производители не будут расширять производство при падении цен до нулевого уровня. Т.е. на любом реальном рынке заведомо выполняется условие Q<a и, следовательно, графический образ множества стратегических пар (q1,q2), которые могут реализоваться, заведомо ограничен треугольником

q_1+q_2\le a,\quad q_1\ge 0,\, q_2\ge 0, ( 3.7)
изображенным жирными линиями на рис.1.5. Однако, если ограничить решения сторон парами (q1,q2) из треугольника (3.7), то возможности выбора одной стороны оказываются связанными с фактическим выбором, осуществленным другой стороной. Это обстоятельство затрудняет непосредственное использование введенных выше понятий равновесия по Нэшу и оптимальности по Парето, поскольку их определения предполагают, что стороны независимы в выборе своих стратегий.


Рис. 1.5.

Поэтому мы будем полагать, что определяемые сторонами P1 и P2 объемы предложения q1 и q2 могут соответствовать любой точке (q1,q2) из квадранта (3.5). Т.е. мы принимаем, что множества X и Y стратегий сторон P1 и P2 есть

X=[0,\infty),\quad Y=[0,\infty). ( 3.8)
Множества стратегий сторон, задаваемые условиями (3.8), допускают использование произведения X\times Y в определениях равновесия по Нэшу и оптимальности по Парето.

Примем, для простоты рассмотрения, что условия производства на обеих фирмах являются одинаковыми и не предполагают постоянных затрат. Тогда общие затраты Ci, осуществляемые фирмой Pi для производства товара в количестве qi, определяются величиной

C_i(q_i)=cq_i,\quad i=1,2, ( 3.9)
где параметр c является константой (фактически, мы также дополнительно предположили линейную зависимость затрат от объемов выпуска).

Пусть \pi_i есть прибыль, получаемая фирмой Pi и представляющая собой разность дохода этой фирмы и осуществленных ею затрат (3.9). При сделанных предположениях зависимость прибыли ( \pi_i фирмы Pi от объемов выпуска обеих фирм, имеет вид

\pi_i(q_1,q_2)=q_i p(Q)-cq_i.
Отсюда (после подстановки (3.6)) получаем выражение
\pi_i(q_1,q_2)=-cq_i+
\left\{
\begin{aligned}
&\gamma q_i(a-q_1-q_2), &q_1+q_2<a,\\
&0, &q_1+q_2\ge a,\\
\end{aligned}
\right. ( 3.10)
которое в треугольнике (3.7) описывается более простой формулой
\pi_i(q_1,q_2)=\gamma q_i(a-\alpha-q_1-q_2),\, q_1+q_2\le a,\, q_1\ge 0,\,
q_2\ge 0,\, \alpha=c\gamma^{-1}. ( 3.11)
При этом согласно (3.11), в подобласти треугольника (3.7), описываемой условиями
q_1+q_2\le a-\alpha,\quad q_1\ge 0,\, q_2\ge 0, ( 3.12)
прибыль является неотрицательной (см. рис.1.5).

Соотношения (3.8) и (3.10) задают нормальную форму игры двух лиц, причем выражения (3.10) для прибыли, получаемой сторонами P1 и P2 в результате продажи товара, играют роль критериев эффективности, в максимизации которых заинтересованы эти стороны. Заметим, что интересы сторон в построенной игре являются несовпадающими и не противоположными.

Исследуем вопрос о существовании устойчивых (по Нэшу) решений в рассматриваемой игре. Определим условия, при которых достигается максимум по qi от прибыли \pi_i(q_1,q_2), получаемой стороной Pi в предположении, что объем товара qj, продаваемого другой стороной Pj (i\ne j), является фиксированным. С этой целью рассмотрим производную

\frac{d\pi_i(q_1,q_2)}{dq_i}=
\left\{\begin{aligned} & -c,&q_1+q_2>a,\\ &
\gamma\left[(a-\alpha)-2q_i-q_j\right],&q_1+q_2<a,\\
\end{aligned} \right. ( 3.13)
которая определена в квадранте (3.5) всюду, кроме точек, лежащих на прямой q1+q2=a. Допустим, что
q_j\le a-\alpha. ( 3.14)
Тогда производная (3.13) имеет нулевые значения во всех точках прямой
q_i=(a-\alpha-q_j)/2, ( 3.15)
лежащих в квадранте (3.5). При этом условие (3.14) выполняется во всех таких точках и, кроме того, вторая производная по qi от прибыли \pi_i(q_1,q_2) является отрицательной.

Таким образом, на отрезке прямой (3.15), соответствующей случаю i=1, j=2 и лежащей в первом квадранте (3.5), достигается максимум прибыли стороны P1 (при вариации объема выпуска q1 и фиксированном объеме q2 ). Указанный отрезок нанесен на рис.1.6. Отрезок, состоящий из точек максимума прибыли стороны P2 и соответствующий случаю i=2, j=1 также нанесен на рис.1.6. При этом, согласно (3.11), прибыль \pi_1(q_1,q_2) стороны Pi в точках (q1,q2), лежащих на прямой (3.15), определяется выражением

\pi_(q_1,q_2)=\gamma (q_i)^2,\quad q_i=(a-\alpha-q_j)/2,\quad i=1,2, ( 3.16)
и, следовательно, растет с увеличением объема qi. Указанные направления роста прибыли вдоль отрезков прямых линий вида (3.15) отмечены стрелками на рис. рис.1.6.


Рис. 1.6.

Прямые линии (3.15), соответствующие случаям i=1, j=2 и i=2, j=1, пересекаются в точке с координатами

x^*=(a-\alpha)/3,\quad y^*=(a-\alpha)/3, ( 3.17)
которая одновременно является точкой максимума прибыли \pi_1(q_1y^*) по q1 и точкой максимума прибыли \pi_2(x^*,q_2) по q2. Таким образом:
\begin{aligned}
&(\forall q_1\in X)\, \pi_1(x^*,y^*)\ge \pi_1(q_1,y^*),\\
&(\forall q_2\in Y)\, \pi_2(x^*,y^*)\ge \pi_2(x^*,q_2),\\
\end{aligned} ( 3.18)
и, следовательно, точка (x^*,y^*) из (3.17) есть стратегическая точка равновесия. При этом, согласно (3.16) и (3.17), уровень прибыли, достижимый в точке равновесия, оказывается одинаковым для обеих сторон и составляет величину
\pi^*=\pi_1(x^*,y^*)=\pi_2(x^*,y^*)=\gamma (a-\alpha)^2/9. ( 3.19)

< Лекция 3 || Лекция 4: 1234 || Лекция 5 >
Михаил Агапитов
Михаил Агапитов

Не могу найти  требования по оформлению выпускной контрольной работы по курсу профессиональной переподготовки "Менеджмент предприятия"

Подобед Александр
Подобед Александр

Я нажал кнопку "начать курс" и почти его уже закончил, но для получения диплома на бумаге, нужно его же оплатить? Как оплатить?