НОУ ИНТУИТ | Языки и исчисления. Лекция 6: Выразимость в арифметике

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 24.04.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 11 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Элиминация кванторов: элиминация кванторов

При всей простоте метод доказательства невыразимости с помощью автоморфизмов страдает очевидным недостатком: очень часто требуемого автоморфизма нет. Например, натуральные числа с операцией прибавления единицы вообще не допускают никакого нетривиального автоморфизма. (Тем не менее там выразимо очень немногое, как мы вскоре увидим.) Целые числа с операцией прибавления единицы допускают автоморфизмы (сдвиги), но эти автоморфизмы не позволяют доказать, что отношение порядка невыразимо (поскольку оно устойчиво относительно сдвигов).

Более прямой метод доказательства состоит в том, что мы предъявляем некоторый класс $\mathcal{E}$ предикатов, который содержит все выразимые предикаты и не содержит интересующего нас предиката. При этом мы доказываем, что $\mathcal{E}$ содержит все выразимые предикаты, таким способом: проверяем, что $\mathcal{E}$ содержит все предикаты, выразимые атомарными формулами, а также замкнут относительно логических операций (объединение, пересечение, дополнение) и операции проекции (соответствующей навешиванию квантора существования; квантор всеобщности выражается через квантор существования). Часто класс $\mathcal{E}$ совпадает с классом всех предикатов, выразимых бескванторными формулами (иногда надо расширить сигнатуру), и потому этот метод называют методом "элиминации кванторов". (Это краткое описание, возможно, станет яснее из приводимых далее примеров.)

Начнем с такого примера. Пусть сигнатура содержит равенство, одноместную функцию (прибавление единицы) и константу . Носителем интерпретации будет множество $\mathbb{Z}$ целых чисел, символы сигнатуры интерпретируются естественным образом. В этой ситуации изоморфизмов не существует, так что предыдущий способ доказательства невыразимости здесь неприменим.

Тем не менее класс выразимых предикатов весьма ограничен: это предикаты, выразимые бескванторными формулами. Будем называть две формулы (рассматриваемой нами сигнатуры) эквивалентными (в данной интерпретации), если они выражают один и тот же предикат, то есть истинны при одних и тех же значениях переменных.

Теорема 28. Для всякой формулы рассматриваемой нами сигнатуры существует эквивалентная ей бескванторная формула.

Будем доказывать индукцией по построению (или, если угодно, по длине) формулы $\varphi$ существование эквивалентной ей в $(\mathbb{Z},=,S,0)$ бескванторной формулы. Для удобства (чтобы рассматривать один случай, а не два) будем считать, что наша формула может содержать только кванторы существования, но не всеобщности. Это законно, так как формулы $\forall \xi \,\psi$ и $\lnot\exists\xi\,\lnot\psi$ эквивалентны.

Случай, когда $\varphi$ есть атомарная формула, очевиден — она и так бескванторная. Если $\varphi$ является конъюнкцией, дизъюнкцией или импликацией двух частей, достаточно заменить каждую часть на эквивалентную бескванторную (что можно сделать по предположению индукции).

Единственный содержательный случай — когда формула $\varphi$ начинается с квантора существования, то есть имеет вид $\exists x \tau$ (пусть под квантором стоит переменная ). Мы рассуждаем по индукции, поэтому можем считать, что формула $\tau$ — бескванторная. Она имеет (возможно) и другие параметры, скажем, $x_1,\dots,x_n$ . Чтобы подчеркнуть это, обычно вместо $\tau$ пишут $\tau(x,x_1,\dots,x_n)$ . Нам надо найти бескванторную формулу нашей сигнатуры, эквивалентную формуле

$\exists x\, \tau(x,x_1,\dots,x_n).$

Формула $\tau(x,x_1,\dots,x_n)$ представляет собой булеву комбинацию атомарных формул. Посмотрим на те атомарные формулы, которые содержат переменную

. Атомарная формула представляет собой равенство двух термов $S(S(\dots(S(u))\dots))=S(S(\dots(S(v))\dots))$ ; здесь

и

— либо переменные, либо константа

. Если переменная

входит и в левую, и в правую часть, то (в этой интерпретации) такая атомарная формула либо всегда истинна, либо всегда ложна, и ее можно заменить на какую-нибудь тождественно истинную или тождественно ложную формулу, не содержащую

. После этого останутся атомарные формулы, которые можно записать как

$x = t_1,\quad x = t_2,\quad\dots,\quad x = t_k.$

Здесь

— либо целая константа, либо выражение вида x_j+c

, где

— какая-то другая переменная, а

— целое число. Мы позволили себе слегка отступить от канонов, разрешив прибавлять и вычитать целые константы вместо того, чтобы применять функцию

в левой и правой частях равенства. Ясно, что это не меняет класса выразимых формул, зато позволяет оставить

в левой части, а константу перенести в правую.

Теперь сравним формулу

$\varphi=\exists x \,\tau(x,x_1,\dots,x_n)$

с формулой

$\tau(t_1,x_1,\dots,x_n) \lor \tau(t_2,x_1,\dots,x_n) \lor \ldots \lor \tau(t_k,x_1,\dots,x_n),$

которую мы будет обозначать $\varphi'$ . Формула $\varphi'$ представляет собой дизъюнкцию формул, полученных в результате подстановки различных t_i

вместо

в бескванторную формулу $\tau(x,x_1,\dots,x_n)$ . (После подстановки можно вернуться к обычному виду записи формулы, заменив прибавление констант на нужное количество применений функции

с той или другой стороны равенства.)

Очевидно, что если для каких-то значений переменных $x_1,\dots,x_n$ формула $\varphi'$ истинна, то для этих значений $x_1,\dots,x_n$ истинна и формула $\varphi$ . В самом деле, если истинен -й член дизъюнкции, то в формуле $\varphi$ в качестве можно взять значение выражения t_i .

Верно ли обратное? Не обязательно. Вполне возможно, что тот , который существует и делает формулу $\varphi$ истинной, отличается от всех t_i . Но мы пропустили по существу только один случай — все такие в некотором смысле одинаковы, так как они делают все атомарные формулы, содержащие , ложными, поэтому все равно, какой из таких выбрать. Отметим также, что хотя бы один такой найдется, поскольку $\mathbb{Z}$ бесконечно, а выражений t_i лишь конечное число.

Обозначим через $\varphi''$ формулу, которая получится из $\tau$ заменой всех атомарных формул, содержащих , на тождественно ложные формулы. Сказанное выше объясняет, почему формула $\varphi$ эквивалентна дизъюнкции $\varphi'\lor\varphi''$ . Мы достигли цели — нашли бескванторную формулу, эквивалентную формуле $\varphi$ .

Легко понять, что отношение порядка x>y не выражается бескванторной формулой нашей сигнатуры, поскольку такая формула может включать лишь атомарные формулы вида x=y+c и для нее случай, когда сильно больше , неотличим от случая, когда сильно меньше . Тем самым мы доказали (чего нельзя было сделать методом автоморфизмов), что отношение x>y невыразимо (в данной интерпретации данной сигнатуры).