Опубликован: 24.04.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный
Лекция 6:

Выразимость в арифметике

< Лекция 5 || Лекция 6: 12345 || Лекция 7 >

Невыразимые предикаты: автоморфизмы

Мы видели, как можно доказать выразимость некоторых свойств. Сейчас мы покажем, каким образом можно доказывать невыразимость.

Начнем с такого примера. Пусть сигнатура содержит двуместный предикат равенства ( = ) и двуместную операцию сложения ( + ). Рассмотрим ее интерпретацию, носителем которой являются целые числа, а равенство и сложение интерпретируются стандартным образом. Оказывается, что предикат {x>y} не является выразимым.

Причина очевидна: с точки зрения сложения целые числа устроены симметрично, положительные ничем не отличаются от отрицательных. Если мы изменим знак у всех переменных, входящих в формулу, то ее истинность не может измениться. Но при этом x>y заменится на x<y, и потому это свойство не является выразимым.

Формально говоря, надо доказывать по индукции такое свойство: если формула \varphi указанной сигнатуры истинна при оценке \pi, то она истинна и при оценке \pi', в которой значения всех переменных меняют знак. (Подробно мы объясним это в общей ситуации дальше.)

Сформулируем общую схему, которой следует это рассуждение. Пусть имеется некоторая сигнатура \sigma и интерпретация этой сигнатуры, носителем которой является множество M. Взаимно однозначное отображение \alpha\colon M\to M называется автоморфизмом интерпретации, если все функции и предикаты, входящие в интерпретацию, устойчивы относительно \alpha. При этом k -местный предикат P называется устойчивым относительно \alpha, если

P(\alpha(m_1),\dots,\alpha(m_k))
\Leftrightarrow
P(m_1,\dots, m_k)
для любых элементов m_1,\dots,m_k\hm\in M. Аналогичным образом k -местная функция f называется устойчивой относительно \alpha, если
f(\alpha(m_1),\dots,\alpha(m_k))=
\alpha(f(m_1,\dots, m_k)).
Это определение обобщает стандартное определение автоморфизма для групп, колец, полей и т. д.

Теорема 27. Предикат, выразимый в данной интерпретации, устойчив относительно ее автоморфизмов.

Проведем доказательство этого (достаточно очевидного) утверждения формально.

Пусть \pi — некоторая оценка, то есть отображение, ставящее в соответствие всем индивидным переменным некоторые элементы носителя. Через \alpha\circ\pi обозначим оценку, которая получится, если к значению каждой переменной применить отображение \alpha ; другими словами, \alpha\circ\pi(\xi)=\alpha(\pi(\xi)) для любой переменной \xi.

Первый шаг состоит в том, чтобы индукцией по построению терма t доказать такое утверждение: значение терма t при оценке \alpha\circ\pi получается применением \alpha к значению терма t при оценке \pi:

[t](\alpha\circ\pi)=\alpha([t](\pi)).
Для переменных это очевидно, а шаг индукции использует устойчивость всех функций интерпретации относительно \alpha.

Теперь индукцией по построению формулы \varphi легко доказать такое утверждение:

[\varphi](\alpha\circ\pi) = [\varphi] (\pi).
Мы не будем выписывать эту проверку; скажем лишь, что взаимная однозначность \alpha используется, когда мы разбираем случай кванторов. (В самом деле, если с одной стороны изоморфизма берется какой-то объект, то взаимная однозначность позволяет взять соответствующий ему объект с другой стороны изоморфизма.)

Теорема 27 позволяет доказать невыразимость какого-то предиката, предъявив автоморфизм интерпретации, относительно которого интересующий нас предикат неустойчив. Вот несколько примеров:

  • (\mathbb{Z},{=},{<}) Сигнатура содержит равенство и отношение порядка. Интерпретация: целые числа. Невыразимый предикат: x=0. Автоморфизм: x\mapsto x+1.
  • (\mathbb{Q},{=},{<},{+}) Сигнатура содержит равенство, отношение порядка и операцию сложения. Интерпретация: рациональные числа. Невыразимый предикат: x=1. Автоморфизм: x\hm\mapsto 2x.

    Заметим, что сложение позволяет выразить предикат x=0. Кроме того, отметим, что вместо рациональных чисел можно взять действительные (но не целые, так как в этом случае единица описывается как наименьшее число, большее нуля).

  • (\mathbb{R},{=},{<},0,1) Сигнатура содержит равенство, порядок и константы 0 и 1. Интерпретация: действительные числа. Невыразимый предикат: x=1/2. (Автоморфизм упорядоченного множества \mathbb{R}, сохраняющий 0 и 1, но не 1/2, построить легко.)
  • (\mathbb{R},{=},{+}, 0, 1) Сигнатура содержит равенство, сложение, константы 0 и 1. Интерпретация: действительные числа. Одноместный предикат x=\gamma выразим для рациональных \gamma и невыразим для иррациональных \gamma.

    В самом деле, выразимость для рациональных \gamma очевидна. Невыразимость для иррациональных \gamma следует из того, что для любых двух иррациональных \gamma_1 и \gamma_2 существует автоморфизм, переводящий \gamma_1 в \gamma_2. (В самом деле, рассмотрим \mathbb{R} как бесконечномерное векторное пространство над \mathbb{Q}. Векторы 1,\gamma_1 линейно независимы и потому их можно дополнить до базиса Гамеля (подробности смотри в книжке по теории множеств [6]). Сделаем то же самое с векторами 1,\gamma_2. Получатся равномощные базисы, после чего мы берем \mathbb{Q} -линейный оператор, переводящий 1 в 1 и \gamma_1 в \gamma_2.)

  • (\mathbb{C},{=},{+},{\times},0,1) В сигнатуру входят предикат равенства, операции сложения и умножения, а также константы 0 и 1. Интерпретация: комплексные числа. Предикат x=\gamma, где \gamma — некоторое комплексное число, выразим для рациональных \gamma и невыразим для иррациональных \gamma.

    В самом деле, если \gamma иррационально, то оно может быть алгебраическим или трансцендентным. В первом случае рассмотрим многочлен из \mathbb{Q}[x] минимальной степени, обращающийся в 0 в точке \gamma ; по предположению он имеет степень больше 1 и потому имеет другой корень \gamma'. В алгебре доказывается (с использованием трансфинитной индукции или леммы Цорна, а также базисов трансцендентности), что существует автоморфизм \mathbb{C} над \mathbb{Q}, переводящий \gamma в \gamma'.

    В случае трансцендентного \gamma мы используем такой факт: для любых трансцендентных \gamma_1, \gamma_2\hm\in\mathbb{C} существует автоморфизм поля \mathbb{C} над \mathbb{Q}, который переводит \gamma_1 в \gamma_2.

    Отметим, что для поля \mathbb{R} вместо \mathbb{C} такое рассуждение не проходит, так как это поле не имеет нетривиальных автоморфизмов. (Отношение порядка выразимо: положительные числа суть квадраты, поэтому любой автоморфизм сохраняет порядок. Поскольку автоморфизм оставляет на месте все рациональные числа, он должен быть тождественным.)

    В этом случае предикат x=\gamma выразим тогда и только тогда, когда \gamma — алгебраическое число. Это легко следует из теоремы Тарского-Зайденберга.

61. Покажите, что предикат y=x+1 невыразим в интерпретации (\mathbb{Z}, {=}, f), где fодноместная функция x\hm\mapsto(x+2).

62. Покажите, что предикат x=2 невыразим в множестве целых положительных чисел с предикатами равенства и " x делит y ".

< Лекция 5 || Лекция 6: 12345 || Лекция 7 >
Алексей Васильев
Алексей Васильев
Россия, Новосибирск
David Satseradze
David Satseradze
Грузия, Тбилиси