НОУ ИНТУИТ | Языки и исчисления. Лекция 6: Выразимость в арифметике

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 24.04.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 11 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Невыразимые предикаты: автоморфизмы

Мы видели, как можно доказать выразимость некоторых свойств. Сейчас мы покажем, каким образом можно доказывать невыразимость.

Начнем с такого примера. Пусть сигнатура содержит двуместный предикат равенства ( ) и двуместную операцию сложения ( ). Рассмотрим ее интерпретацию, носителем которой являются целые числа, а равенство и сложение интерпретируются стандартным образом. Оказывается, что предикат {x>y} не является выразимым.

Причина очевидна: с точки зрения сложения целые числа устроены симметрично, положительные ничем не отличаются от отрицательных. Если мы изменим знак у всех переменных, входящих в формулу, то ее истинность не может измениться. Но при этом x>y заменится на x<y , и потому это свойство не является выразимым.

Формально говоря, надо доказывать по индукции такое свойство: если формула $\varphi$ указанной сигнатуры истинна при оценке $\pi$ , то она истинна и при оценке $\pi'$ , в которой значения всех переменных меняют знак. (Подробно мы объясним это в общей ситуации дальше.)

Сформулируем общую схему, которой следует это рассуждение. Пусть имеется некоторая сигнатура $\sigma$ и интерпретация этой сигнатуры, носителем которой является множество . Взаимно однозначное отображение $\alpha\colon M\to M$ называется автоморфизмом интерпретации, если все функции и предикаты, входящие в интерпретацию, устойчивы относительно $\alpha$ . При этом -местный предикат называется устойчивым относительно $\alpha$ , если

$P(\alpha(m_1),\dots,\alpha(m_k)) \Leftrightarrow P(m_1,\dots, m_k)$

для любых элементов $m_1,\dots,m_k\hm\in M$ . Аналогичным образом

-местная функция

называется устойчивой относительно $\alpha$ , если

$f(\alpha(m_1),\dots,\alpha(m_k))= \alpha(f(m_1,\dots, m_k)).$

Это определение обобщает стандартное определение автоморфизма для групп, колец, полей и т. д.

Теорема 27. Предикат, выразимый в данной интерпретации, устойчив относительно ее автоморфизмов.

Проведем доказательство этого (достаточно очевидного) утверждения формально.

Пусть $\pi$ — некоторая оценка, то есть отображение, ставящее в соответствие всем индивидным переменным некоторые элементы носителя. Через $\alpha\circ\pi$ обозначим оценку, которая получится, если к значению каждой переменной применить отображение $\alpha$ ; другими словами, $\alpha\circ\pi(\xi)=\alpha(\pi(\xi))$ для любой переменной $\xi$ .

Первый шаг состоит в том, чтобы индукцией по построению терма доказать такое утверждение: значение терма при оценке $\alpha\circ\pi$ получается применением $\alpha$ к значению терма при оценке $\pi$ :

$[t](\alpha\circ\pi)=\alpha([t](\pi)).$

Для переменных это очевидно, а шаг индукции использует устойчивость всех функций интерпретации относительно $\alpha$ .

Теперь индукцией по построению формулы $\varphi$ легко доказать такое утверждение:

$[\varphi](\alpha\circ\pi) = [\varphi] (\pi).$

Мы не будем выписывать эту проверку; скажем лишь, что взаимная однозначность $\alpha$ используется, когда мы разбираем случай кванторов. (В самом деле, если с одной стороны изоморфизма берется какой-то объект, то взаимная однозначность позволяет взять соответствующий ему объект с другой стороны изоморфизма.)

Теорема 27 позволяет доказать невыразимость какого-то предиката, предъявив автоморфизм интерпретации, относительно которого интересующий нас предикат неустойчив. Вот несколько примеров:

$(\mathbb{Z},{=},{<})$ Сигнатура содержит равенство и отношение порядка. Интерпретация: целые числа. Невыразимый предикат: . Автоморфизм: $x\mapsto x+1$ .
$(\mathbb{Q},{=},{<},{+})$ Сигнатура содержит равенство, отношение порядка и операцию сложения. Интерпретация: рациональные числа. Невыразимый предикат: . Автоморфизм: $x\hm\mapsto 2x$ .

Заметим, что сложение позволяет выразить предикат . Кроме того, отметим, что вместо рациональных чисел можно взять действительные (но не целые, так как в этом случае единица описывается как наименьшее число, большее нуля).
$(\mathbb{R},{=},{<},0,1)$ Сигнатура содержит равенство, порядок и константы и . Интерпретация: действительные числа. Невыразимый предикат: . (Автоморфизм упорядоченного множества $\mathbb{R}$ , сохраняющий и , но не , построить легко.)
$(\mathbb{R},{=},{+}, 0, 1)$ Сигнатура содержит равенство, сложение, константы и . Интерпретация: действительные числа. Одноместный предикат $x=\gamma$ выразим для рациональных $\gamma$ и невыразим для иррациональных $\gamma$ .

В самом деле, выразимость для рациональных $\gamma$ очевидна. Невыразимость для иррациональных $\gamma$ следует из того, что для любых двух иррациональных $\gamma_1$ и $\gamma_2$ существует автоморфизм, переводящий $\gamma_1$ в $\gamma_2$ . (В самом деле, рассмотрим $\mathbb{R}$ как бесконечномерное векторное пространство над $\mathbb{Q}$ . Векторы $1,\gamma_1$ линейно независимы и потому их можно дополнить до базиса Гамеля (подробности смотри в книжке по теории множеств [6]). Сделаем то же самое с векторами $1,\gamma_2$ . Получатся равномощные базисы, после чего мы берем $\mathbb{Q}$ -линейный оператор, переводящий в и $\gamma_1$ в $\gamma_2$ .)
$(\mathbb{C},{=},{+},{\times},0,1)$ В сигнатуру входят предикат равенства, операции сложения и умножения, а также константы и . Интерпретация: комплексные числа. Предикат $x=\gamma$ , где $\gamma$ — некоторое комплексное число, выразим для рациональных $\gamma$ и невыразим для иррациональных $\gamma$ .

В самом деле, если $\gamma$ иррационально, то оно может быть алгебраическим или трансцендентным. В первом случае рассмотрим многочлен из $\mathbb{Q}[x]$ минимальной степени, обращающийся в в точке $\gamma$ ; по предположению он имеет степень больше и потому имеет другой корень $\gamma'$ . В алгебре доказывается (с использованием трансфинитной индукции или леммы Цорна, а также базисов трансцендентности), что существует автоморфизм $\mathbb{C}$ над $\mathbb{Q}$ , переводящий $\gamma$ в $\gamma'$ .

В случае трансцендентного $\gamma$ мы используем такой факт: для любых трансцендентных $\gamma_1, \gamma_2\hm\in\mathbb{C}$ существует автоморфизм поля $\mathbb{C}$ над $\mathbb{Q}$ , который переводит $\gamma_1$ в $\gamma_2$ .

Отметим, что для поля $\mathbb{R}$ вместо $\mathbb{C}$ такое рассуждение не проходит, так как это поле не имеет нетривиальных автоморфизмов. (Отношение порядка выразимо: положительные числа суть квадраты, поэтому любой автоморфизм сохраняет порядок. Поскольку автоморфизм оставляет на месте все рациональные числа, он должен быть тождественным.)

В этом случае предикат $x=\gamma$ выразим тогда и только тогда, когда $\gamma$ — алгебраическое число. Это легко следует из теоремы Тарского-Зайденберга.