НОУ ИНТУИТ | Языки и исчисления. Лекция 10: Полнота исчисления предикатов

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 24.04.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 11 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: Рассматриваются вопросы непротиворечивости теории, совместных множеств замкнутых формул, а также полноты непротиворечивых теории

Ключевые слова: исчисление предикатов, тавтология, MP@ML, импликация, подформула, эквивалентные формулы, предикатный символ, квантор всеобщности, дедукция, истинность формул, доказательство, произвольное, отрицание, аксиома, подмножество, множества, бесконечное множество, интерпретация, ПО, константы, функция, терм, определение, предикат, конъюнкция, сигнатура, вывод, квантор существования, объединение, непротиворечивость, подстановка, анализ, мощность, доказательство теорем, совместность, эквивалентность, связанная переменная, переменная, область действия, свободная переменная

Выводы в исчислении предикатов

Примеры выводимых формул

Прежде чем доказывать теорему Геделя о полноте исчисления предикатов, мы должны приобрести некоторый опыт построения выводов в этом исчислении.

Прежде всего отметим, что возможность сослаться на теорему о полноте исчисления высказываний и считать выводимым любой частный случай пропозициональной тавтологии сильно облегчает жизнь. Например, пусть мы вывели две формулы $\varphi$ и $\psi$ и хотим теперь вывести формулу $(\varphi\land\psi)$ . Это просто: заметим, что формула $(\varphi\to(\psi\to(\varphi\land\psi)))$ является частным случаем пропозициональной тавтологии (а на самом деле и аксиомой) и дважды применяем правило MP.
Другой пример такого же рода: если формула $\varphi\hm\to\psi$ выводима, то выводима и формула $\lnot\psi\to\lnot\varphi$ , поскольку импликация
$(\varphi\to\psi)\to(\lnot\psi\to\lnot\varphi)$
является частным случаем пропозициональной тавтологии.
Еще один пример: если выводимы формулы $\varphi\to\psi$ и $\psi\to\tau$ , то выводима и формула $\varphi\to\tau$ , поскольку формула
$(\varphi\to\psi) \to ((\psi\to\tau)\to(\varphi\to\tau))$
является частным случаем пропозициональной тавтологии.
Для произвольной формулы $\varphi$ выведем формулу
$\forall x \, \varphi \to \exists x \, \varphi.$
В самом деле, подстановка переменной вместо себя всегда допустима, поэтому формулы $\forall x\,\varphi \hm\to \varphi$ и $\varphi\hm\to\exists x\,\varphi$ являются аксиомами. Остается воспользоваться предыдущим замечанием.
Для произвольной формулы $\varphi$ выведем формулу
$\exists y\, \forall x\, \varphi \to \forall x\, \exists y\, \varphi.$
Формулы $\forall x\,\varphi \to \varphi$ и $\varphi\to\exists y\,\varphi$ являются аксиомами. С их помощью выводим формулу $\forall x\, \varphi\hm\to \exists y\,\varphi$ . Теперь заметим, что левая часть импликации не имеет параметра , а правая часть не имеет параметра , так что можно применить два правила Бернайса (в любом порядке) и добавить справа квантор $\forall x$ , а слева — квантор $\exists y$ .
Предположим, что формула $\varphi\to\psi$ выводима, а $\xi$ — произвольная переменная. Покажем, что в этом случае выводима формула $\forall \xi\,\varphi\hm\to \forall\xi\,\psi$ . В самом деле, формула $\forall \xi\,\varphi\hm\to\varphi$ является аксиомой. Далее выводим (с помощью пропозициональных тавтологий и правила MP) формулу $\forall \xi\,\varphi \to\psi$ ; остается воспользоваться правилом Бернайса (левая часть не имеет параметра $\xi$ ).
Аналогичным образом из выводимости формулы $\varphi\to\psi$ следует выводимость формулы $\exists\xi\,\varphi\hm\to\exists\xi\,\psi$ , только надо начать с аксиомы $\psi\hm\to\exists\xi\,\psi$ , затем получить $\varphi\hm\to\exists\xi\,\psi$ , а потом применить правило Бернайса.
Таким образом, если формулы $\varphi$ и $\psi$ доказуемо эквивалентны (это значит, что импликации $\varphi\hm\to\psi$ и $\psi\hm\to\varphi$ выводимы), то формулы $\forall\xi\,\varphi$ и $\forall\xi\,\psi$ также доказуемо эквивалентны. (Аналогичное утверждение верно и для формул $\exists\xi\,\varphi$ и $\exists\xi\,\psi$ .)

Теперь несложно доказать и более общий факт: замена подформулы на доказуемо эквивалентную дает доказуемо эквивалентную формулу.
Выведем формулу $\forall x\, A(x) \to \forall y\, A(y)$ (здесь — одноместный предикатный символ). Это несложно: начнем с аксиомы $\forall x\, A(x) \to A(y)$ , в ней левая часть не имеет параметра и потому по правилу Бернайса из нее получается искомая формула. Этот пример показывает, что связанные переменные можно переименовывать, не меняя смысла формулы
Выведем формулы, связывающие кванторы всеобщности и существования:
$\begin{align*} \forall \xi\,\varphi &\leftrightarrow \lnot\exists\xi\,\lnot\varphi;\\ \exists \xi\,\varphi &\leftrightarrow \lnot\forall\xi\,\lnot\varphi. \end{align*}$
Напомним, что $\alpha\leftrightarrow\beta$ мы считаем сокращением для ${(\alpha\to\beta)}\hm\land{(\beta\to\alpha)}$ , так что нам надо вывести четыре формулы.

Начнем с формулы $\exists\xi\,\varphi\hm\to \lnot\forall\xi\,\lnot\varphi$ . Имея в виду правило Бернайса, достаточно вывести формулу $\varphi\hm\to\lnot\forall\xi\,\lnot\varphi$ . Тавтология $(B\to \lnot A)\hm\to(A\to \lnot B)$ позволяет вместо этого выводить формулу $\forall\xi\,\lnot\varphi\hm\to\lnot\varphi$ , которая является аксиомой.

В только что выведенной формуле $\exists\xi\,\varphi\to\lnot\forall\xi\,\lnot\varphi$ можно в качестве $\varphi$ взять любую формулу, в том числе начинающуюся с отрицания. Подставив $\lnot\varphi$ вместо $\varphi$ , получим
$\exists\xi\,\lnot\varphi\to\lnot\forall\xi\,\lnot\lnot\varphi,$
где $\lnot\lnot\varphi$ доказуемо эквивалентна $\varphi$ и потому может быть заменена на $\varphi$ . После этого правило контрапозиции (если из следует $\lnot B$ , то из следует $\lnot A$ ) дает
$\forall \xi\,\varphi \to \lnot\exists\xi\,\lnot \varphi.$

Выведем третью формулу: $\lnot\exists\xi\,\lnot\varphi\to\forall\xi\,\varphi$ . По правилу Бернайса достаточно вывести $\lnot\exists\xi\,\lnot\varphi\to\varphi$ , что после контрапозиции превращается в аксиому $\lnot\varphi\to\exists\xi\,\lnot\varphi$ .

Четвертая формула получится, если заменить в третьей $\varphi$ на $\lnot\varphi$ и применить контрапозицию.