Опубликован: 24.04.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный
Лекция 10:

Полнота исчисления предикатов

Выводимость из посылок

В исчислении высказываний важную роль играло понятие выводимости из посылок и связанная с ним лемма о дедукции. Для исчисления предикатов ситуация немного меняется. Если разрешить использовать посылки наравне с аксиомами безо всяких ограничений, то утверждение, аналогичное лемме о дедукции, будет неверным. Например, из формулы A(x) можно вывести формулу \forall x\, A(x) (как мы видели при обсуждении правила обобщения). Но импликация A(x)\to\forall x\,A(x) не является выводимой (поскольку не общезначима).

Поэтому мы ограничимся случаем, когда все посылки являются замкнутыми формулами. Пусть \Gamma — произвольное множество замкнутых формул рассматриваемой нами сигнатуры \sigma. (Такие множества называют теориями в сигнатуре \sigma.) Говорят, что формула A выводима из \Gamma, если ее можно вывести, используя наравне с аксиомами формулы из \Gamma. Как и для исчисления высказываний, мы пишем \Gamma\vdash A. Выводимые из \Gamma формулы называют также теоремами теории \Gamma.

Лемма о дедукции для исчисления предикатов. Пусть \Gamma — множество замкнутых формул, а A — замкнутая формула. Тогда \Gamma \vdash (A\to B) тогда и только тогда, когда \Gamma\cup\{A\} \vdash B.

Доказательство проходит по той же схеме, что и для исчисления высказываний : к формулам C_1,\dots,C_n, образующим вывод C_n=B из \Gamma\cup\{A\}, мы приписываем посылку A и дополняем полученную последовательность

(A\to C_1),\dots,(A\to C_n)
до вывода из \Gamma. Отличие от пропозиционального случая в том, что в выводе могут встречаться правила Бернайса. Например, от выводимости формулы
A\to(\psi\to\varphi)
надо перейти к выводимости формулы
A\to(\psi\to\forall\xi\,\varphi)
(в которой переменная \xi не является параметром формулы \psi ). Это несложно сделать, если заметить, что в силу пропозициональных тавтологий можно перейти от A\to(\psi\to\varphi) к (A\land\psi)\to\varphi, затем применить правило Бернайса (это законно, так как переменная \xi не является параметром формулы \psi, а формула A замкнута по предположению). Получится выводимая из \Gamma формула
(A\land\psi)\to\forall\xi\,\varphi,
и остается вернуть A из конъюнкции в посылку.

Сходным образом рассматривается и второе правило Бернайса. Если выводима формула A\to(\varphi\to\psi), то в силу пропозициональных тавтологий выводима формула \varphi\to(A\to\psi), к которой можно применить правило Бернайса и получить \exists\xi\,\varphi\to(A\to\psi), после чего вернуть A назад с помощью пропозициональной тавтологии. Лемма о дедукции доказана.

Отметим теперь несколько полезных свойств выводимости из посылок.

  • Если \Gamma\vdash A и \Gamma' \supset
\Gamma, то \Gamma' \vdash A. (Очевидно следует из определения.)
  • Если \Gamma\vdash A, то существует конечное множество \Gamma' \subset \Gamma, для которого \Gamma' \vdash A. (Вывод конечен и потому может использовать лишь конечное число формул.)
  • Если \Gamma конечно и равно \{\gamma_1,\dots,\gamma_n\}, то \Gamma\vdash A равносильно выводимости (без посылок) формулы

    (\gamma_1\land\ldots\land\gamma_n)\to A.

    В самом деле, если \{\gamma_1,\dots,\gamma_n\}\vdash A, то многократное применение леммы о дедукции дает

    \vdash \gamma_1\to(\gamma_2\to(\ldots(\gamma_n\to A)\ldots)),
    и остается воспользоваться надлежащей пропозиональной тавтологией. (В обратную сторону рассуждение также проходит без труда.)

  • Комбинируя три предыдущих замечания, приходим к такому эквивалентному определению выводимости из посылок: \Gamma\vdash A, если найдутся формулы \gamma_1,\dots,\gamma_n\in \Gamma, для которых
    \vdash \gamma_1\to(\gamma_2\to(\ldots(\gamma_n\to A)\ldots)).
    Это определение имеет смысл и для формул с параметрами, так что если уж определять выводимость из посылок с параметрами (чего обычно избегают), то именно так.

Понятие выводимости из посылок позволяет переформулировать теорему о корректности исчисления предикатов.

Говорят, что интерпретация M сигнатуры \sigma является моделью теории \Gamma, если все формулы из \Gamma истинны в M.

Теорема 44 (о корректности; переформулировка). Все теоремы теории \Gamma истинны в любой модели M теории \Gamma.

Если формула A является теоремой теории \Gamma (т. е. \Gamma\vdash A ), найдутся формулы \gamma_1,\dots,\gamma_n\in\Gamma, для которых

\vdash \gamma_1\to(\gamma_2\to(\ldots(\gamma_n\to A)\ldots)).
По теореме о корректности (в уже известной нам форме) эта формула будет истинна во всех интерпретациях, в частности в M. Поскольку \gamma_1,\dots,\gamma_n истинны в M, то и формула A истинна в M (на любой оценке).

В следующих задачах — и только в них — знак \vdash понимается в описанном выше смысле (в посылках допускаются параметры).

95. Пусть \Gamma — множество произвольных (не обязательно замкнутых) формул. (а) Пусть существует "вывод" некоторой формулы \varphi, в котором наравне с аксиомами используются формулы из \Gamma, при этом все применения правил Бернайса предшествуют появлению формул из \Gamma. Покажите, что \Gamma\vdash\varphi. Покажите, что верно и обратное утверждение. (б) Покажите, если в "выводе" формулы \varphi наравне с аксиомами используются формулы из \Gamma, но правила Бернайса не применяются по переменным, свободным в \Gamma, то {\Gamma\vdash\varphi}.

96. Покажите, что правила Бернайса можно переписать так:

\frac{\Gamma, A\vdash B\mathstrut}
        {\Gamma, A \vdash \forall\xi\,B\mathstrut}
\qquad
\frac{\Gamma, B\vdash A\mathstrut}
        {\Gamma, \exists\xi\,\vdash A\mathstrut},
где переменная \xi не является параметром формулы A, а также параметром формул из \Gamma. (В первом правиле мы для симметрии выделили формулу A, хотя она ничем не отличается от формул из \Gamma.)

Алексей Васильев
Алексей Васильев
Россия, Новосибирск
David Satseradze
David Satseradze
Грузия, Тбилиси