Исчисление предикатов

Общезначимые формулы

Исчисление высказываний ( "Исчисление высказываний" ) позволяло выводить все тавтологии из некоторого набора базисных тавтологий (названных аксиомами) с помощью некоторых правил вывода (на самом деле единственного правила modus ponens). Сейчас мы хотим решить аналогичную задачу для формул первого порядка. Соответствующее исчисление называется исчислением предикатов.

Пусть фиксирована некоторая сигнатура . Формула этой сигнатуры (возможно, с параметрами) называется общезначимой, если она истинна в любой интерпретации сигнатуры на любой оценке.

Общезначимые формулы в логике предикатов играют ту же роль, что тавтологии в логике высказываний. Между ними есть и формальная связь: если взять любую тавтологию и вместо входящих в нее пропозициональных переменных подставить произвольные формулы сигнатуры , получится общезначимая формула. В самом деле, пусть есть некоторая интерпретация сигнатуры и некоторая оценка (то есть фиксированы значения индивидных переменных). Тогда каждая из подставленных формул станет истинной или ложной, а значение всей формулы определяется с помощью таблиц истинности для логических связок, то есть по тем же правилам, что в логике высказываний.

Конечно, бывают и другие общезначимые формулы, не являющиеся частным случаями пропозициональных тавтологий. Например, формула

общезначима (здесь существенно, что носитель любой интерпретации непуст). Другие примеры общезначимых формул (во втором случае — произвольная формула):

87. Будет ли общезначима формула (а) ; (б) ?

Многие вопросы можно сформулировать как вопросы об общезначимости некоторых формул. Например, можно записать свойства рефлексивности, транзитивности и антисимметричности в виде формул , и сигнатуры и затем написать формулу

Общезначимость этой формулы означала бы, что любое линейно упорядоченное множество имеет наибольший элемент, так что она не общезначима.

88. Напишите формулы и проверьте, что приведенная нами формула не общезначима, хотя истинна во всех конечных интерпретациях.

89. Известно, что формула истинна во всех конечных и счетных интерпретациях. Можно ли из этого заключить, что она общезначима? (Указание: воспользуйтесь теоремой Левенгейма-Сколема об элементарной подмодели.)

Две формулы и (с параметрами или без) называются эквивалентными, если в любой интерпретации и на любой оценке, на которой истинна одна из них, истинна и другая. Это определение равносильно такому: формула общезначима. Здесь, напомним, есть сокращение для .

Общезначимость любой формулы очевидно равносильна общезначимости ее замыкания — формулы, которая получится, если слева к приписать кванторы всеобщности по всем параметрам.

Двойственное к общезначимости понятие — выполнимость. Формула называется выполнимой, если она истинна в некоторой интерпретации на некоторой оценке. Очевидно, формула общезначима тогда и только тогда, когда формула не является выполнимой.

90. Закончите утверждение: выполнимость формулы с параметрами равносильна выполнимости замкнутой формулы, которая получится, если\,

Чтобы проверить, является ли формула тавтологией, достаточно подставить в нее все возможные наборы значений переменных. Хотя этот процесс может быть на практике невыполним (наборов слишком много), теоретически мы имеем простой алгоритм проверки, является ли формула тавтологией. Для общезначимых формул в общем случае такого алгоритма не существует (теорема Черча; ее доказательство можно прочесть в [5]); он есть только для очень ограниченных классов формул. Например, если сигнатура содержит только нульместные предикатные символы, то задача по существу сводится к проверке тавтологичности (в этом случае кванторы фиктивны). Чуть более сложен случай с одноместными предикатами.

91. Пусть сигнатура содержит только одноместные предикаты. Докажите, что всякая выполнимая формула этой сигнатуры, содержащая различных предикатов, выполнима в некоторой конечной интерпретации, содержащей не более элементов. Как использовать этот факт для алгоритмической проверки выполнимости формул такой сигнатуры?