НОУ ИНТУИТ | Численные методы решения уравнений в частных производных. Лекция 9: Применение вариационных принципов для построения разностных схем

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 25.10.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 20 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

9.3. Вариационная схема для уравнения теплопроводности на криволинейной сетке

Рис. 9.5.

Рассмотрим линейное уравнение теплопроводности

${\frac{{\partial}u}{{\partial}t} + {div}(- k \ {grad}\ {u}) = 0}$

( 9.1)

с условиями

$(-k \ {grad}\ {u}, {\mathbf{n}}) = 0$

в ограниченной области $\Omega$ с криволинейной границей. При этом нигде в $\bar {\Omega}$ уравнение не вырождено, т.е. k(x, y) > 0 во всех точках области, включая граничные.

В области $\Omega$ каким - либо образом введена сетка с четырехугольными ячейками. Сетка считается связной, т.е. для любых двух вершин ячеек существует ломаная, их соединяющая и состоящая из ребер ячеек (рис. 9.5).

Пусть сетка построена так, что существует преобразование, переводящее область $\Omega$ в параллелограмм (прямоугольник) с равномерной сеткой внутри. Тогда координатные линии x, y переходят в координатные кривые криволинейного базиса $\xi , \eta$ .

Перепишем уравнение (9.1) в виде системы

$\begin{gather*} \frac{{\partial}u}{{\partial}t} + div{\mathbf{W}} = 0, \\ {\mathbf{W}} + k {grad} u = 0. \end{gather*}$

( 9.2)

Рассмотрим функционал

${F[u] = \int\limits_\Omega {\left({\frac{{({\mathbf{W}}, {\mathbf{W}})}}{k} - \frac{{\partial}}{{\partial}t}u^2}\right)dxdy}.}$

( 9.3)

Найдем $\delta F[u]$ :

$\begin{gather*} \delta F[u] = \int\limits_\Omega {\delta \left({\frac{{({\mathbf{W}}, {\mathbf{W}})}}{k} - \frac{{\partial}}{{\partial}t}u^2}\right)dxdy} = \\ = \int\limits_\Omega {\left({- 2{div}{\mathbf{W}} \cdot \delta u - 2 \delta u \frac{{\partial}u}{{\partial}t} - 2u \frac{{\partial}}{{\partial t}} \delta u}\right)dxdy}, \\ \delta \frac{{({\mathbf{W}}, {\mathbf{W}})}}{k} = 2 \left({\frac{{\mathbf{W}}}{k}, \delta {\mathbf{W}}}\right) = 2 \left({\frac{{\mathbf{W}}}{k}, - k {grad} \delta u}\right) = - 2(\delta u, {div}{\mathbf{W}}). \end{gather*}$

Отсюда при

$\frac{{\partial}}{{\partial}t} \delta u = 0$

минимум функционала достигается на решении уравнения теплопроводности.

Для построения разностной схемы введем дискретный аналог функционала $F_{h}({\mathbf{W}}^{h} )$ , т.е. в дискретном аналоге основной расчетной величиной будет поток тепла.

Прежде чем построить функционал, рассмотрим ячейку разностной сетки (рис. 9.6). Температуру u_ij и коэффициент теплопроводности (или температуропроводности) k_ij отнесем к центру ячейки (точке пересечения диагоналей). В дальнейшем считаем, что термодинамические величины постоянны во всей ячейке. Векторы теплового потока отнесем к углам ячейки (рис. 9.6), а к центрам соответствующих ребер — проекции потоков на координатные оси. Считаем, что i увеличивается по мере увеличения координаты $\xi$ ; j — по мере увеличения $\eta$ ; проекции векторов потока направлены вдоль соответствующих координатных линий. Заметим, что проекции потоков для двух ячеек сонаправлены с векторами внешней нормали, а для двух — противонаправлены.