НОУ ИНТУИТ | Теория экспериментов с конечными автоматами. Лекция 1: Эксперименты с автоматами, имеющими взвешенный входной алфавит

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 17.02.2011 | Уровень: специалист | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 3 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Синтез синхронизирующих последовательностей, минимальных по весу

В основе построения СП, УП и ДП, минимальных по весу, лежит так называемое дерево преемников, формируемое для автомата и множества S_0 его допустимых начальных состояний. Оно незначительно отличается от аналогичной структуры, определенной в [18]. Остановимся на способе его построения.

Под $\sigma$ -множеством автомата понимается любая конечная совокупность состояний , не все из которых обязательно различны. Если $\sigma$ -множество содержит один элемент, то оно называется простым. Если $\sigma$ -множество содержит два или более одинаковых элементов, оно именуется кратным. $\sigma$ -множество однородно, если все его элементы совпадают друг с другом.

Назовем -группой множество, состоящее из $\sigma$ -множеств, общее число элементов которых равно m=|S_0| . -группа называется простой (однородной), если все $\sigma$ -множества в ней просты (однородны).

Пусть есть -группа, состоящая из $\sigma$ -множеств $g_1, g_2, \dots , g_r, x_{i_1}, x_{i_2}, \dots, x_{i_j}$ -преемник есть другая -группа, построенная по следующим правилам:

$\sigma$ -множество $g_i=(i=\bar {1,r})$ разбиваем на такие подмножества, каждое из которых содержит все те состояния из , которые вырабатывают одинаковую реакцию на входную последовательность $x_{i_1}, x_{i_2}, \dots, x_{i_j}$ . Каждое полученное подмножество далее интерпретируется как $\sigma$ -множество, а совокупность всех таких подмножеств интерпретируется как -группа .
В $\sigma$ -множествах из заменяем каждое состояние его преемником относительно входной последовательности $x_{i_1}, x_{i_2}, \dots, x_{i_j}$ .

Получаемая в результате такого построения -группа является $x_{i_1}, x_{i_2}, \dots, x_{i_j}$ -преемником .

Определим теперь структуру, называемую деревом преемников для заданного автомата и множества допустимых начальных состояний S_0 . Она состоит из ветвей, расположенных в последовательных уровнях, нумерация которых начинается с нуля. Нулевой уровень дерева содержит единственную, называемую начальной, ветвь. Условимся считать, что она связана с -группой S_0 . Если входной алфавит $X=\{x_1, \dots , x_p\}$ автомата содержит символов, то каждая ветвь в -м уровне $(k \ge 0)$ расщепляется на ветвей, представляющих символы $x_1, x_2, \dots , x_p$ соответственно и являющихся ветвями (k+1) -го уровня. Ветвь x_i (k+1) -го уровня считается связанной с -группой, являющейся x_i -приемником соответствующей -группы уровня . Будем называть вершины простыми, кратными или однородными, если они связаны с соответствующими -группами.

Из описанного метода построения вытекает, что дерево преемников является бесконечной структурой. Для синтеза СП, УП и ДП нами будут из упомянутой бесконечной структуры выделяться конечные деревья за счет введения специальных правил обрыва ветвей. Каждая такая оборванная ветвь связана с вершиной дерева, которую мы будем называть листом, следуя терминологии, принятой в теории графов.

Для построения минимальной по весу СП используем граф, который назовем синхронизирующим деревом (СД). Основой для его построения является описанное выше дерево преемников.

Вершинами СД являются -группы дерева преемников. Корень СД представляет собой -группу S_0 нулевого уровня. Вершиной 1-го уровня СД, связанной с x_i -ветвью, является -группа , представляющая собой x_i -преемник -группы S_0 , при этом из вершины S_0 в проводится дуга, помеченная символом x_i . Аналогично строятся вершины СД всех последующих уровней и соединяющие их дуги. Каждой вершине в СД поставим в соответствие флажок (на рисунках он будет обозначаться прямоугольником), в него будет вписано число, равное сумме весов входных символов последовательности, которая соответствует пути по СД, ведущему из корня в вершину .

Условимся теперь об обозначениях вершин СД. Если вершине СД соответствует -группа $g_1, g_2m \dots , g_r$ , где $g_i (i=\bar {1,r})$ - $\sigma$ -множества, то для ее обозначения будем использовать множество состояний автомата , равное

$\bigcup_{1 \le i \le r} g_i.$

Для того чтобы выделить из дерева преемников конечное СД, введем правила обрыва ветвей. Правила эти должны определять момент, когда некоторая вершина дерева преемников становится листом, то есть из нее в процессе дальнейшего построения не исходит никаких дуг.

При построении СД автомата с множеством S_0 допустимых начальных состояний вершина -го уровня становится листом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

;
на уровнях, предшествующих -му, имеется такая вершина , что , но значение флажка вершины больше значения флажка вершины ;
на уровнях, предшествующих -му, имеется такая вершина , что , а значение флажка вершины больше значения флажка вершины .

Проиллюстрируем процесс построения СД для автомата, заданного табл. 1.1, считая, что $S_0=\{1,2,3\}, w(\alpha)=1, w(\beta)=2, w(\gamma)=20$ . Этот граф приведен на рис. 1.1. В овале, изображающем вершину, перечислены состояния множества, соответствующего этой вершине.

Таблица 1.1. Переходы-выходы автомата
s\x	$\alpha$	$\beta$	$\gamma$
1	1/0	1/1	5/0
2	3/1	2/0	4/0
3	2/1	4/1	4/0
4	5/1	1/1	5/1
5	3/0	2/0	4/1

Так, вершина $\{1,2,3\}$ первого уровня, две вершины $\{4,5\}$ второго уровня, вершины $\{4,5\}$ и $\{1,2\}$ третьего уровня и т. д. являются листьями в силу пункта 2 правил обрыва. Вершины $\{1\}$ и $\{5\}$ пятого уровня, вершина $\{4\}$ третьего уровня являются листьями в силу пункта 1 правил обрыва. Две вершины $\{4,5\}$ четвертого уровня, имеющие значение флажка 43, являются листьями в силу пункта 3 тех же правил.

Из способа построения СД вытекает, что последовательность входных символов, соответствующая пути по СД из корня в одну из вершин , где |S|=1 , является СП для заданного автомата.

Понятно, что построение минимальной по весу СП сводится к следующей простой процедуре. Среди всех вершин СД, у которых |S|-1 , отыскивается вершина с минимальным значением флажка w(s) и в СД находится путь в нее из корня дерева. Очевидно, что соответствующая этому пути последовательность символов и является СП, имеющей минимальный вес, равный упомянутому значению флажка w(s) .

Так, в СД на рис1.1 имеется 4 таких вершины, из которых вершина $\{1\}$ пятого уровня имеет минимальное значение флажка, равное 27.

Поскольку пути из корня в эту вершину соответствует входная последовательность $\gamma \beta \alpha \beta \beta$ , то она и является минимальной по весу СП. Заметим, кстати, что минимальной по длине СП для этого автомата и того же множества допустимых начальных состояний является последовательность $\gamma \alpha \gamma$ , соответствующая пути по СД из корня в вершину $\{4\}$ третьего уровня.