Обобщенные автоматы без потери информации конечного порядка

Автоматы без потери информации конечного порядка (ОБПИК-автоматы) являются в некотором смысле аналогами БПИК-автоматов, введенных С. Ивеном [74].

В этом разделе нами используется в качестве математической модели дискретного устройства слабоинициальный автомат Мили со структурированными входными и выходными алфавитами. Условимся также применять далее те же обозначения, понятия и конструкции, что были введены в предшествующем разделе.

Для однозначности определения числа будем считать, что оно является минимальным из всех возможных для заданного автомата чисел такого рода, и назовем его порядком автомата .

Отметим, что определенные нами ОБПИК-автоматы в качестве частного случая включают в себя ранее известные БПИК-автоматы, введенные . Ивеном [74] , и автоматы существенно без потери информации конечного порядка (СБПИК-автоматы), введенные автором представленного курса лекций в [9], [46]. БПИК-автоматы получаются при , , а СБПИК-автоматы получаются при , где - число входных каналов автомата.

Пусть и - слова в структурированном алфавите . Из определения ОБПИК-автомата порядка следует, что он должен обладать следующим свойством:

( 4.1)

Здесь, не теряя общности, предполагается, что наблюдение реакции ведется по первым выходным каналам с номерами , а неизвестное слово будет восстанавливаться по первым входным каналам с номерами .

Теорема 4.1. Автомат является ОБПИК-автоматом тогда и только тогда, когда в его проверочном графе все контуры и все пути, ведущие в эти контуры, не содержат выделенных дуг.

Необходимость. Пусть есть ОБПИК-автомат порядка . Покажем, что он одновременно является и ОБПИ-автоматом. Пусть на вход подано неизвестное входное слово , такое, что , а реакция автомата на это слово такова, что . Подадим на вход произвольное слово длины (пусть ), реакция на которое есть слово (пусть ). Поскольку есть ОБПИК-автомат порядка , то по начальному отрезку проекции выходного слова длины можно определить 1-й символ неизвестного входного слова, аналогично по начальному отрезку длины слова - символ и, наконец, по начальному отрезку длины слова - символ . Таким образом, подача на вход автомата произвольного слова длины является тем экспериментом, который всегда позволяет определить искомую проекцию неизвестного входного слова. Следовательно, является ОБПИ-автоматом.

Предположим, что в имеется контур длины , первая дуга которого - выделенная. В силу теоремы 3.2 предшествующей лекции все вершины этого контура таковы, что . Обозначим через и входные слова, соответствующие проходу автомата по состояниям контуров и . Поскольку 1-я дуга контура в является выделенной, то и , где . Если к автомату , находящемуся в состоянии или , приложить входные слова вида и , где - целое положительное число, - некоторый начальный отрезок слова -кратное повторение слова , то понятно, что наблюдаемые проекции автомата в обоих случаях будут одинаковыми. Следовательно, по наблюдаемой реакции восстановить однозначно 1-й символ неизвестного входного слова невозможно. Поскольку сказанное справедливо для любого и начального отрезка любой длины, то упомянутая потеря информации будет иметь место для слов произвольной длины. Последний факт противоречит исходному предположению о том, что является ОБПИК-автоматом.

Нетрудно убедиться, что аналогичная ситуация имеет место и в случае, когда в графе существует путь, ведущий в контур и начинающийся с выделенной дуги.

На этом завершается доказательство необходимости условий теоремы.

Достаточность. Пусть не содержит контуров и, следовательно, в нем имеются только пути конечной длины. Рассмотрим вначале случай, когда эти пути не содержат выделенных дуг. Покажем, что в этих предположениях однозначное восстановление проекции первого символа неизвестного входного слова длины возможно. Предположим противное: пусть в существует два пути

и

где . Очевидно, что если проекция реакции автомата есть , то проекцию 1-го искомого символа восстановить однозначно невозможно. Однако в этом случае в должны существовать выделенные дуги и т. д., что противоречит исходному предположению.

Теперь рассмотрим случай, когда в графе содержится путь , у которого 1-я дуга является выделенной. Отсутствие в вершине исходящей дуги означает, что при любом входном сигнале реакции автомата из состояний и различны. Но тогда по этой реакции идентифицируется истинное состояние автомата ( или ). Поскольку по теореме 3.2 предшествующей лекции для вершины упомянутого выше пути при , то обратным ходом можно идентифицировать истинную последовательность сменяющихся состояний автомата из двух возможных: либо . Отсюда вытекает, что проекция первого символа неизвестного входного слова восстанавливается однозначно.

Перейдем к рассмотрению случая, когда в графе имеются контуры. Доказательство для него проведем от противного. Пусть не является ОБПИК-автоматом. В частности, в нем могут существовать два контура:

и

где происходит потеря информации о первом входном символе, если . Но тогда в графе существует контур , у которого 1-я дуга является выделенной. Отсюда вытекает справедливость достаточности условий теоремы для контуров с выделенными дугами. По аналогии устанавливается справедливость условий теоремы и для случая путей с выделенными дугами, ведущими в контур. На этом завершается доказательство достаточности условий теоремы.

Следующее утверждение позволяет определить порядок ОБПИК-автомата .

Теорема 4.2. Если в проверочном графе ОБПИК-автомата длина максимального пути, начальная дуга которого является выделенной, равна , то порядок ОБПИК-автомата .

Доказательство. Пусть в существует путь, начинающийся в вершине и заканчивающийся в , 1-я дуга которого является выделенной. Наличие его означает существование у автомата двух входных слов и , различающихся проекциями первых символов и обладающих следующим свойством:

При распознавании проекции неизвестного входного слова автомата мы не располагаем информацией об истинном его начальном состоянии. Если на вход автомата будет подано одно из слов или , то мы не сможем определить и его истинное конечное состояние. В этой ситуации определение проекции 1-го символа входного слова по наблюдаемой реакции длины не более символов невозможно. Это означает, что порядок автомата заведомо больше . Поскольку путь рассматриваемого вида максимален по длине, то из вершины графа не может исходить ни одной дуги. Для автомата этот факт интерпретируется следующим образом: если автомат находится в одном из состояний или , то подача любого входного символа и наблюдение соответствующей реакции автомата позволяет всегда однозначно определить истинное начальное состояние из двух допустимых. Отсюда можно сделать вывод, что знание проекции реакции автомата на неизвестное входное слово длины всегда позволяет однозначно определить проекцию 1-го символа этого входного символа.

Докажем это утверждение от противного. Пусть существуют два различных входных слова и , где и - слова, упомянутые ранее, а - произвольный символ из . Пре дположим, что автомат находится в состоянии или . Если на вход автомата будет подано одно из слов или , то по проекции последнего выходного символа можно определить состояние, в котором автомат находился перед подачей символа . Неоднозначность определения проекции 1-го символа неизвестного входного слова в нашей ситуации означало бы, что .

Тогда в соответствии с определением 3.1 состояния и образуют пару СПИ-состояний. Отсюда следует, что автомат не может принадлежать классу ОБПИ-автоматов, а в силу теоремы 4.1 он не может принадлежать и классу СБПИК-автоматов. Последний факт противоречит нашему предположению.

Рассмотрим автомат, заданный графом на рис.4.1. Пусть его реакция наблюдается по 1-му и 2-му выходным каналам ( ), а проекция неизвестного входного слова должна восстанавливаться по 1-му каналу ( ). Пусть , тогда проверочный граф для этого автомата изображен на рис.4.2. Легко проверить, что условия теоремы 4.1 для графа на рис.4.2 выполняются, следовательно, рассматриваемый автомат есть ОБПИК. Поскольку длины всех путей в графе , начальные дуги которых являются выделенными, равны , то порядок автомата .

Рис. 4.1.

Рис. 4.2.

В табл. 4.1 приведены все возможные реакции автомата на входные слова длины 2 и соответствующие им проекции 1-го символа неизвестного входного слова по 1-му входному каналу.

Таблица 4.1.

Реакция автомата по каналам 1 и 2	Проекция 1-го входного символа по каналу 1
0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1	0 1 0 1 1 0

Рассмотрим вопрос о восстановлении проекции 1-го символа неизвестного входного слова. Из (4.1) следует, что каждой комбинации из символов, являющихся проекциями реакций автомата по выходным каналам с номерами , однозначно соответствует искомая проекция 1-го символа неизвестного входного слова. В частности, такое соответствие для автомата на рис.4.1 задано табл. 4.1. Подобную таблицу будем интерпретировать далее как совокупность таблиц истинности частичных булевых функций, где - число каналов, по которым производится восстановление неизвестного входного слова. Строки первого столбца таблицы типа табл. 4.1 содержат двоичные наборы длины , на которых упомянутые булевы функции считаются заданными, а значение на соответствующем наборе -й булевой функции полагается равным величине, стоящей в -й позиции второго столбца таблицы, где .

Исходя из предложенной интерпретации, общая схема восстановления некоторой проекции неизвестного входного слова для ОБПИК-автомата порядка с использованием комбинационного устройства, реализующего совокупность частичных булевых функций, изображена на рис.4.3. На этом рисунке означает элемент единой задержки. На рис.4.4 изображена схема восстановления, которая построена на основе табл. 4.1 для автомата, представленного на рис.4.1.

Рис. 4.3.

Рис. 4.4.

По аналогии с оптимальными ОБПИ-автоматами, введенными в предыдущей лекции, рассмотрим ОБПИК-автоматы. Для их отыскания по графу автомата построим проверочный граф , предполагая, что наблюдение реакции ведется по всем выходным, а восстановление - по всем входным каналам. Используя , найдем в нем все контуры и все пути, ведущие в эти контуры, образуем на этой основе множество всех входящих в них выделенных дуг. Если , то по теореме 4.1 автомат есть ОБПИК и при он будет таковым для любого . Если , то для каждого построим множество целых чисел, являющихся номерами входных каналов, в которых на дуге происходит потеря информации в смысле, определенном в предыдущем разделе. По аналогии с ОБПИ-автоматами можно утверждать, что является ОБПИК для любого подмножества каналов из множества и есть максимальное по мощности множество каналов, сохраняющее свойство ОБПИК.

Пусть . Для строим проверочный граф . Если он удовлетворяет условиям теоремы 4.1, то -й канал является избыточным в смысле, определенном в предыдущей лекции. Пусть - множество номеров всех избыточных выходных каналов автомата . Если , то является искомым оптимальным автоматом. При рассмотрим всевозможные сочетания пар, троек и т. д. номеров каналов из . Обозначим множество, содержащее номеров из , где . Для каждого из множеств начиная с строим проверочный граф . Если для всевозможных множеств при соответствующие им проверочные графы удовлетворяют условиям теоремы 4.1, то увеличиваем на 1 и продолжаем этот процесс. Если на очередном этапе каждый из построенных для всевозможных множеств проверочных графов не удовлетворяет условиям теоремы 4.1, то процесс прекращается. При этом очевидно, что оптимальными будут все те автоматы , рассмотренные на предпоследнем этапе (для них имеет значение на 1 меньше, чем на последнем этапе), для которых соответствующие графы удовлетворяют условиям теоремы 4.1.

Вопросы и упражнения

1. Сформулируйте определение обобщенного автомата без потери информации конечного порядка.
2. Приведите критерий принадлежности автомата классу автоматов ОБПИК в терминах проверочного графа.
3. Опишите процедуру определения порядка ОБПИК-автомата.
4. Опишите процедуру построения комбинационной схемы, позволяющей восстанавливать проекцию неизвестного входного слова ОБПИК-автомата.
5. Автомат задан графом на рис.4.1. Пусть множество допустимых начальных состояний автомата есть . Пусть для наблюдения реакции доступны оба выходных канала, а проекция неизвестного входного слова должна быть восстановлена по 2-му каналу. Требуется:
   • построить проверочный граф этого автомата;
   • проверить критерий принадлежности этого автомата классу ОБПИК-автоматов;
   • если этот критерий выполняется, то определить порядок автомата.