Опубликован: 08.04.2009 | Уровень: для всех | Доступ: платный
Лекция 8:

Как обойтись без рекурсии

< Лекция 7 || Лекция 8: 123 || Лекция 9 >

8.2. Стек отложенных заданий

Другой прием устранения рекурсии продемонстрируем на примере задачи о ханойских башнях.

8.2.1. Написать нерекурсивную программу для нахождения последовательности перемещений колец в задаче о ханойских башнях.

Решение. Вспомним рекурсивную программу, перекладывающую i верхних колец с m на n:

procedure move(i,m,n: integer);
| var s: integer;
begin
| if i = 1 then begin
| | writeln ('сделать ход ', m, '->', n);
| end else begin
| | s:=6-m-n; {s - третий стержень: сумма номеров равна 6}
| | move (i-1, m, s);
| | writeln ('сделать ход ', m, '->', n);
| | move (i-1, s, n);
| end;
end;

Видно, что задача "переложить i верхних дисков с m -го стержня на n -ый" сводится к трем задачам того же типа: двум задачам с i-1 дисками и к одной задаче с единственным диском. Занимаясь этими задачами, важно не позабыть, что еще осталось сделать.

Для этой цели заведем стек отложенных заданий, элементами которого будут тройки \langle{i},{m},{n}\rangle. Каждая такая тройка интерпретируется как заказ "переложить i верхних дисков с m -го стержня на n -ый". Заказы упорядочены в соответствии с требуемым порядком их выполнения: самый срочный - вершина стека. Получаем такую программу:

procedure move(i,m,n: integer);
begin
| сделать стек заказов пустым
| положить в стек тройку <i,m,n>
| {инвариант: осталось выполнить заказы в стеке}
| while стек непуст do begin
| | удалить верхний элемент, переложив его в <j,p,q>
| | if j = 1 then begin
| | | writeln ('сделать ход', p, '->', q);
| | end else begin
| | | s:=6-p-q;
| | |      {s - третий стержень: сумма номеров равна 6}
| | | положить в стек тройки <j-1,s,q>, <1,p,q>, <j-1,p,s>
| | end;
| end;
end;

(Заметим, что первой в стек кладется тройка, которую надо выполнять последней.) Стек троек может быть реализован как три отдельных стека. (Кроме того, в паскале есть специальный тип, называемый "запись" ( record ), который может быть применен.)

8.2.2. (Сообщил А.К.Звонкин со ссылкой на Анджея Лисовского.) Для задачи о ханойских башнях есть и другие нерекурсивные алгоритмы. Вот один из них: простаивающим стержнем (не тем, с которого переносят, и не тем, на который переносят) должны быть все стержни по очереди. Другое правило: поочередно перемещать наименьшее кольцо и не наименьшее кольцо, причем наименьшее - по кругу.

8.2.3. Использовать замену рекурсии стеком отложенных заданий в рекурсивной программе печати десятичной записи целого числа.

Решение. Цифры добываются с конца и закладываются в стек, а затем печатаются в обратном порядке.

8.2.4. Написать нерекурсивную программу, печатающую все вершины двоичного дерева.

Решение. В этом случае стек отложенных заданий будет содержать заказы двух сортов: "напечатать данную вершину" и "напечатать все вершины поддерева с данным корнем" (при этом nil считается корнем пустого дерева). Таким образом, элемент стека есть пара: \langle тип заказа, номер вершины \rangle.

Вынимая элемент из стека, мы либо сразу исполняем его (если это заказ первого типа), либо помещаем в стек три порожденных им заказа - в одном из шести возможных порядков.

8.2.5. Что изменится, если требуется не печатать вершины двоичного дерева, а подсчитать их количество?

Решение. Печатание вершины следует заменить прибавлением единицы к счетчику. Другими словами, инвариант таков: (общее число вершин=счетчик+сумма чисел вершин в поддеревьях, корни которых лежат в стеке).

8.2.6. Для некоторых из шести возможных порядков возможны упрощения, делающие ненужным хранение в стеке элементов двух видов. Указать некоторые из них.

Решение. Если требуемый порядок таков:

\begin{center}
корень, левое поддерево, правое поддерево,
\end{center}
то заказ на печатание корня можно не закладывать в стек, а выполнять сразу.

Несколько более сложная конструкция применима для порядка

\begin{center}
левое поддерево, корень, правое поддерево.
\end{center}
В этом случае все заказы в стеке, кроме самого первого (напечатать поддерево) делятся на пары:
\begin{center}
    напечатать вершину x,
    напечатать "правое поддерево" x
\end{center}
(= поддерево с корнем в правом сыне x ). Объединив эти пары в заказы специального вида и введя переменную для отдельного хранения первого заказа, мы обойдемся стеком однотипных заказов.

То же самое, разумеется, верно, если поменять местами левое и правое - получается еще два порядка.

Замечание. Другую программу печати всех вершин дерева можно построить на основе программы обхода дерева, разобранной в "лекции 3" . Там используется команда "вниз". Поскольку теперешнее представление дерева с помощью массивов l и r не позволяет найти предка заданной вершины, придется хранить список всех вершин на пути от корня к текущей вершине. Смотри также "лекцию 9"

8.2.7. Написать нерекурсивный вариант программы быстрой сортировки (см. "лекцию 7" ). Как обойтись стеком, глубина которого ограничена C\log n, где n - число сортируемых элементов?

Решение. В стек кладутся пары \langle i,j\rangle, интерпретируемые как отложенные задания на сортировку соответствующих участков массива. Все эти заказы не пересекаются, поэтому размер стека не может превысить n. Чтобы ограничиться стеком логарифмической глубины, будем придерживаться такого правила: глубже в стек помещать больший из возникающих двух заказов. Пусть f(n) - максимальная глубина стека, которая может встретиться при сортировке массива из не более чем n элементов таким способом. Оценим f(n) сверху таким способом: после разбиения массива на два участка мы сначала сортируем более короткий (храня в стеке более длинный про запас), при этом глубина стека не больше f(n/2)+1, затем сортируем более длинный, так что

f(n) \le max (f(n/2)+1, f(n-1)),
откуда очевидной индукцией получаем f(n)=O(\log n).

< Лекция 7 || Лекция 8: 123 || Лекция 9 >
Татьяна Новикова
Татьяна Новикова
Россия, Пошатово
Artem Bardakov
Artem Bardakov
Россия