Опубликован: 09.07.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Лекция 15:

Алгоритмические проблемы

< Лекция 14 || Лекция 15: 12345 || Лекция 16 >

14.5. Проблема соответствий Поста

Определение 14.5.1. Постовской системой соответствия над алфавитом \Sigma называется упорядоченная пара конечных последовательностей (( x_1 , \ldots , x_n ) , ( y_1 , \ldots , y_n )) , где x_i \in \Sigma ^* и y_i \in \Sigma ^* для всех i.

Замечание 14.5.2. Систему (( x_1 , \ldots , x_n ) , ( y_1 , \ldots , y_n )) иногда изображают в виде

\domino{x_1}{y_1} , \ldots , \domino{x_n}{y_n} .

Определение 14.5.3. Решением (match) постовской системы соответствия ((x1,...,xn),(y1,...,yn)) называется непустая последовательность индексов (i_1 , \ldots , i_k) , удовлетворяющая условию

x_{i_1} \ldots x_{i_k} = y_{i_1} \ldots y_{i_k} ,
где 1 \leq i_j \leq n для каждого j.

Пример 14.5.4. Пусть \Sigma = \{ a , b , c \} . Рассмотрим постовскую систему соответствия

\domino{ a a b }{ a } ,
\domino{ a }{ a a } ,
\domino{ c a a }{ b c } .
Последовательность (2,1,3,2,2) является решением этой системы, так как
a \cdot aab \cdot caa \cdot a \cdot a =
 aa \cdot a \cdot bc \cdot aa \cdot aa .

Упражнение 14.5.5. Пусть \Sigma = \{ a , b , c , 0 , 1 , \diamondsuit , \heartsuit, \spadesuit \} . Существует ли решение у постовской системы соответствия

\begin{gathered*}
\domino{ a \spadesuit }
 { a \spadesuit a b a \heartsuit 1 a c a \spadesuit a } ,
\domino{ a b }{ b a } ,
\domino{ a c }{ c a } ,
\domino{ a \spadesuit }{ \spadesuit a } ,
\domino{ a \spadesuit }{ b a \spadesuit a } ,
\domino{ a \spadesuit }{ \spadesuit a b a } ,
\\
\!\domino{ a \heartsuit 1 a b }{ \diamondsuit a }\! ,
\!\domino{ a \heartsuit 1 a c }{ c a \heartsuit 1 0 a }\! ,
\!\domino{ a b a \heartsuit 1 0 a b }{ \heartsuit 1 0 a b a c a }\! ,
\!\domino{ a c a \heartsuit 1 0 a b }{ \heartsuit 1 0 a c a c a }\! ,
\!\domino{ a \heartsuit 1 0 a c }{ c a \heartsuit 1 1 a }\! ,
\!\domino{ a \heartsuit 1 1 a c }{ c a \heartsuit 1 a }\! ,
\\
\domino{ a \diamondsuit a b }{ \diamondsuit a } ,
\domino{ a \diamondsuit a c }{ \diamondsuit a } ,
\domino{ a b a \diamondsuit }{ \diamondsuit a } ,
\domino{ a c a \diamondsuit }{ \diamondsuit a } ,
\domino{ a \diamondsuit a \spadesuit a \spadesuit }{ \spadesuit } ?
\end{gathered*}

Определение 14.5.6. Проблемой соответствий Поста (Post correspondence problem) называется проблема нахождения алгоритма, выясняющего для каждой постовской системы соответствия, существует ли решение этой системы.

Теорема 14.5.7. Пусть | \Sigma | \geq 2 . Тогда не существует алгоритма, позволяющего по произвольной постовской системе соответствия над алфавитом \Sigma узнать, имеет ли она решение. ( Другими словами, проблема соответствий Поста неразрешима.)

Доказательство можно найти в [ХопМот, 9.4].

Упражнение 14.5.8. Существует ли решение у постовской системы соответствия \domino{ab}{abab} , \domino{b}{a} , \domino{aba}{b} , \domino{aa}{a} ?

Упражнение 14.5.9. Существует ли решение у постовской системы соответствия \domino{b}{ca}, \domino{a}{ab}, \domino{ca}{a}, \domino{abc}{c} ?

Упражнение 14.5.10. Существует ли решение у постовской системы соответствия \domino{a}{ab}, \domino{ca}{cc}, \domino{bcc}{ccca}, \domino{b}{ab} ?

Упражнение 14.5.11. Существует ли решение у постовской системы соответствия \domino{ab}{aba}, \domino{b}{a}, \domino{aba}{b}, \domino{bbab}{abb} ?

Упражнение 14.5.12. Существует ли решение у постовской системы соответствия \domino{ab}{b}, \domino{b}{bba}, \domino{ba}{b}, \domino{b}{bab}, \domino{b}{abb} ?

Упражнение 14.5.13. Существует ли решение у постовской системы соответствия \domino{ab}{b}, \domino{b}{bba}, \domino{ba}{b}, \domino{aba}{aba} ?

Упражнение 14.5.14. Существует ли решение у постовской системы соответствия \domino{a}{aaa}, \domino{\varepsilon}{aaaaa}, \domino{aaaaa}{aa} ?

Упражнение 14.5.15. Существует ли постовская система соответствия, имеющая ровно одно решение?

< Лекция 14 || Лекция 15: 12345 || Лекция 16 >
Юлия Маковецкая
Юлия Маковецкая

Упражнение 2.1.25

Евгения Гунченко
Евгения Гунченко

Сдавала тест экстерном, результат получен 74 после принятия данного результата и соответственно оплаты курса, будет ли выдано удостоверение о повышении квалификации?

Юрий Фролов
Юрий Фролов
Украина
Руслан Мухамедьяров
Руслан Мухамедьяров
Россия, Казань, КФУ