НОУ ИНТУИТ | Математическая теория формальных языков. Лекция 10: Основные свойства контекстно-свободных языков

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 09.07.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 33 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: В данной лекции рассматриваются основные свойства контекстно-свободных языков, приведены некоторые теоремы для класса линейных языков, а также доказательство того, что пересечение контекстно-свободного языка с автоматным языком является контекстно-свободным. Также приводятся практические примеры и упражнения для самостоятельной проработки

Ключевые слова: контекстно-свободный язык, разделы, класс, пересечение, дерево вывода, крона дерева, контекстно-свободная грамматика

В "лекции 2" были доказаны лемма о разрастании и свойства замкнутости класса автоматных языков. Некоторые из этих теорем имеют аналоги для класса контекстно-свободных языков (разделы 9.1 и 9.4), но этот класс не замкнут относительно дополнения и пересечения (раздел 9.5).

Лемма о разрастании для контекстно-свободных языков формализует явление "периодичности" в этих языках. Для полноты картины в разделах 9.2* и 9.3 приведены некоторые аналогичные теоремы для класса линейных языков, хотя ни в теории, ни в практических приложениях класс линейных языков значительной роли не играет.

В разделе 9.6 доказывается, что пересечение контекстно-свободного языка с автоматным языком является контекстно-свободным. В сочетании с леммой о разрастании этот факт дает удобное средство, позволяющее во многих задачах доказать, что заданный язык не является контекстно-свободным. Еще одно необходимое условие контекстной свободности сформулировано в разделе 9.7*.

9.1. Лемма о разрастании для контекстно-свободных языков

Лемма 9.1.1 (pumping lemma, лемма о разрастании, лемма о накачке, лемма-насос) Пусть L - контекстно-свободный язык над алфавитом $\Sigma$ . Тогда найдется такое положительное целое число p, что для любого слова $w \in L$ длины не меньше p можно подобрать слова $u , v , x , y , z \in \Sigma ^*$ , для которых верно uvxyz = w, $v y \neq \varepsilon$ ( то есть $v \neq \varepsilon$ или $y \neq \varepsilon$ ), $| v x y | \leq p$ и $u v ^i x y ^i z \in L$ для всех $i \in \mathbb{N}$ .

Доказательство. Пусть язык порождается грамматикой в нормальной форме Хомского $G = \lalg N , \Sigma , P , S \ralg$ . Индукцией по k легко доказать, что для любого дерева вывода в грамматике G длина кроны дерева не превышает 2^k-2, где k - количество вершин в самом длинном пути, начинающемся в корне дерева и заканчивающемся в некоторой вершине, помеченной символом из $\Sigma$ .

Положим p = 2^|N|. Пусть $w \in L$ и $| w | \geq p$ . Зафиксируем некоторое дерево вывода с кроной w в грамматике G. Рассмотрим самый длинный путь в этом дереве. Этот путь содержит не менее |N| + 2 вершин. Среди них найдутся две вершины с одинаковыми метками, причем их можно выбрать среди последних |N| + 2 вершин рассматриваемого пути. Выберем слова u, v, x, y и z так, что uvxyz = w, поддерево с корнем в одной из найденных вершин имеет крону x и поддерево с корнем в другой найденной вершине имеет крону vxy.

Из того что G - грамматика в нормальной форме Хомского, заключаем, что $v x y \neq x$ . Неравенство $| v x y | \leq 2^{ | N | }$ следует из того, что самый длинный путь в соответствующем слову vxy поддереве содержит не более |N| + 2 вершин. Для каждого $i \in \mathbb{N}$ можно построить дерево вывода с кроной uvⁱxyⁱz, комбинируя части исходного дерева вывода.

Пример 9.1.2. Рассмотрим язык $L = \{ a^n b^n c^n \mid n \geq 0 \}$ над алфавитом {a,b,c}. Утверждение леммы 9.1.1 не выполняется ни для какого натурального числа p. Действительно, если uvxyz = a^pb^pc^p, |vy| > 0 и $| v x y | \leq p$ , то |vy|_a = 0 или |vy|_c = 0. Следовательно, |uvvxyyz|_a = p или |uvvxyyz|_c = p. Так как |uvvxyyz| > 3p, то $u v v x y y z \notin L$ . Из этого можно заключить, что язык L не является контекстно-свободным.

Теорема 9.1.3. Каждый контекстно-свободный язык над однобуквенным алфавитом является автоматным.

Доказательство. Пусть дан контекстно-свободный язык L над алфавитом {a}. Согласно лемме 9.1.1 найдется такое натуральное число p, что множество $\{ k \in \mathbb{N} \mid a^k \in L \}$ является объединением некоторого семейства арифметических прогрессий, причем у каждой прогрессии первый член и шаг не больше числа p. Так как существует лишь конечное число прогрессий натуральных чисел с таким ограничением, рассматриваемое семейство конечно. Следовательно, язык L является автоматным (используем пример 2.1.18).

Упражнение 9.1.4. Является ли контекстно-свободным язык $\{ w w \mid w \in \{a,b\}^* \}$ ?

Упражнение 9.1.5. Является ли контекстно-свободным язык $\{ a^i b^j c^k \mid 0 \leq i \leq j \leq k \}$ ?

Упражнение 9.1.6. Является ли контекстно-свободным язык $\{ a^{k+m} b^m a^k b^m \mid k \geq 0 ,\ m \geq 0 \}$ ?

Упражнение 9.1.7. Является ли контекстно-свободным язык {a^m | m простое}?

Упражнение 9.1.8. Является ли контекстно-свободным язык $\{ a^n b^n a^n \mid n \geq 0 \} \cup \{ a^k b^l a^m \mid k \geq 0 ,\ l \geq 0 ,\ m \leq 52 \}$ ?

Упражнение 9.1.9. Является ли контекстно-свободным язык $\{ w \in \{a,b,c\}^* \mid | w |_a = | w |_b = | w |_c \}$ ?

Упражнение 9.1.10. Является ли контекстно-свободным язык $\{ a^n b w b a^m \mid w \in \{a,b\}^* ,\ | w |_a = n + m \}$ ?

Упражнение 9.1.11. Является ли контекстно-свободным язык $\{ u v w \mid u \in \{a,b\}^* ,\ v \in \{c,d\}^* ,\ w \in \{a,b\}^* ,\ | u |_a = | w |_b ,\ | v |_c = | v |_d \}$ ?

Упражнение 9.1.12. Является ли контекстно-свободным язык $\{ u v w \mid u \in \{a,b\}^* ,\ v \in \{c,d\}^* ,\ w \in \{a,b\}^* ,\ | u |_a = | v |_c ,\ | v |_d = | w |_b \}$ ?

Упражнение 9.1.13. Является ли контекстно-свободным язык {a^kb^mcⁿ | k < max(m,n)}?

Упражнение 9.1.14. Является ли контекстно-свободным язык {a^kb^mcⁿ | k > max(m,n)}?

Упражнение 9.1.15. Является ли контекстно-свободным язык

$\begin{multiline*} \{ a^n b^n a^n b^n \mid n \geq 0 \} \cup \{ a^{2k} b^{2k} a^m b^m \mid k \geq 0 ,\ m \geq 0 \} \cup {}\\ \cup \{ a^k b^{2l} ba a^{2l} b^k \mid k \geq 0 ,\ m \geq 0 \} ? \end{multiline*}$

Упражнение 9.1.16. Какому классу принадлежит язык, порождаемый грамматикой

$\begin{align*} S \; & {\to} \; T c V , \\ T \; & {\to} \; b V , \\ V \; & {\to} \; a V a , \\ V \; & {\to} \; \varepsilon , \\ ac \; & {\to} \; a ? \end{align*}$

Упражнение 9.1.17. Существуют ли такие контекстно-свободные языки $L_1 \subseteq \{a,b\}^*$ и $L_2 \subseteq \{b,c\}^*$ , что язык $L_1 \sminus L_2$ не является контекстно-свободным?