НОУ ИНТУИТ | Математическая теория формальных языков. Лекция 15: Алгоритмические проблемы

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 09.07.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 33 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Определение 14.1.12. Пусть f - частичная функция из $\Sigma ^*$ в $\Sigma ^*$ . Детерминированная машина Тьюринга

$M \peq \lalg Q , \Sigma , \Gamma , b_0 , \Delta , I , F \ralg$

вычисляет (computes) функцию f тогда и только тогда, когда для каждого слова $w \in \Sigma ^*$ 1) если f(w) не определено, то не существует таких $p \in I$ , $q \in F$ , $a \in \Gamma$ , $x \in \Gamma ^*$ , $y \in \Gamma ^*$ , что

$\lp \varepsilon , p , b_0 , w \rp \overstar{\vdash} \lp x , q , a , y \rp ;$

2) если f(w)=z, то для некоторых $p \in I$ , $q \in F$ , $m \in \mathbb{N}$ и $n \in \mathbb{N}$ выполнено условие

$\lp \varepsilon , p , b_0 , w \rp \overstar{\vdash} \lp b_0 ^m , q , b_0 , z b_0 ^n \rp .$

Определение 14.1.13. Частичная функция из $\Sigma ^*$ в $\Sigma ^*$ называется вычислимой, если существует детерминированная машина Тьюринга, вычисляющая эту функцию.

Пример 14.1.14. Машина Тьюринга из примера 14.1.9 вычисляет следующую частичную функцию:

$f( a ^n ) = \begin{cases} \varepsilon , &\text{если число $ n $ четно,} \\ \text{не определено,} &\text{если число $ n $ нечетно.} \end{cases}$

Пример 14.1.15. Рассмотрим детерминированную машину Тьюринга

$\lalg Q , \Sigma , \Gamma , b_0 , \Delta , I , F \ralg ,$

где

$\begin{align*} Q &= \{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 \} ,\\ \Sigma &= \{ a \} ,\\ \Gamma &= \{ a , b \} ,\\ b_0 &= b ,\\ I &= \{ 1 \} ,\\ F &= \{ 7 \} ,\\ \Delta &= \{ \lp \lp 1 , b \rp , \lp 2 , b , 1 \rp \rp ,\ \\ &\hphantom{ {} = {} \{ } %\} \lp \lp 2 , b \rp , \lp 7 , b , 0 \rp \rp ,\ \lp \lp 2 , a \rp , \lp 3 , a , -1 \rp \rp ,\ \\ &\hphantom{ {} = {} \{ } %\} \lp \lp 3 , b \rp , \lp 3 , a , 1 \rp \rp ,\ \lp \lp 3 , a \rp , \lp 4 , b , 1 \rp \rp ,\ \\ &\hphantom{ {} = {} \{ } %\} \lp \lp 4 , b \rp , \lp 5 , b , -1 \rp \rp ,\ \lp \lp 4 , a \rp , \lp 8 , a , 0 \rp \rp ,\ \\ &\hphantom{ {} = {} \{ } %\} \lp \lp 5 , b \rp , \lp 6 , b , -1 \rp \rp ,\ \\ &\hphantom{ {} = {} \{ } %\} \lp \lp 6 , a \rp , \lp 6 , a , -1 \rp \rp ,\ \lp \lp 6 , b \rp , \lp 7 , b , 0 \rp \rp ,\ \\ &\hphantom{ {} = {} \{ } %\} \lp \lp 8 , b \rp , \lp 8 , b , 1 \rp \rp ,\ \lp \lp 8 , a \rp , \lp 9 , a , 1 \rp \rp ,\ \\ &\hphantom{ {} = {} \{ } %\} \lp \lp 9 , a \rp , \lp 9 , a , 1 \rp \rp ,\ \lp \lp 9 , b \rp , \lp 10 , b , -1 \rp \rp ,\ \\ &\hphantom{ {} = {} \{ } %\} \lp \lp 10 , a \rp , \lp 11 , b , -1 \rp \rp ,\ \\ &\hphantom{ {} = {} \{ } %\} \lp \lp 11 , b \rp , \lp 11 , b , 0 \rp \rp ,\ \lp \lp 11 , a \rp , \lp 12 , b , -1 \rp \rp ,\ \\ &\hphantom{ {} = {} \{ } %\} \lp \lp 12 , a \rp , \lp 12 , a , -1 \rp \rp ,\ \lp \lp 12 , b \rp , \lp 13 , b , -1 \rp \rp ,\ \\ &\hphantom{ {} = {} \{ } %\} \lp \lp 13 , b \rp ,\! \lp 13 , b , -1 \rp \rp ,\ \lp \lp 13 , a \rp ,\! \lp 14 , b , -1 \rp \rp ,\ \\ &\hphantom{ {} = {} \{ } %\} \lp \lp 14 , a \rp ,\! \lp 8 , a , 1 \rp \rp ,\ \lp \lp 14 , b \rp ,\! \lp 3 , b , 1 \rp \rp \} . \end{align*}$

$\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle \xymatrix { % & *=[o][F=]{7} & *=[o][F-]{6} \rloop{0,-1} ^{a:a\dl} \ar "1,2" _{b:b\dn} & *=[o][F-]{5} \ar "1,3" _{b:b\dl} & & \\ % & *=[o][F-]{1} \ar @`{+/l16mm/} [] ^{} \ar "2,3" ^{b:b\dr} & *=[o][F-]{2} \ar "1,2" ^*!/u1.5mm/{b:b\dn} \ar "3,2" ^*!/u2mm/{a:a\dl} & & & \\ % & *=[o][F-]{3} \rloop{0,1} ^{b:a\dr} \ar "3,4" ^{a:b\dr} & & *=[o][F-]{4} \ar "1,4" _{b:b\dl} \ar "3,5" ^{a:a\dn} & *=[o][F-]{8} \rloop{0,1} ^{b:b\dr} \ar "3,6" ^{a:a\dr} & *=[o][F-]{9} \rloop{0,1} ^{a:a\dr} \ar "4,5" ^{b:b\dl} \\ *=[o][F-]{14} \ar "3,5" <-0.2mm> ^-(.3){a:a\dr} \ar "3,2" ^{b:b\dr} & *=[o][F-]{13} \rloop{0,-1} ^{b:b\dl} \ar "4,1" ^{a:b\dl} & *=[o][F-]{12} \rloop{0,-1} ^{a:a\dl} \ar "4,2" ^{b:b\dl} & *=[o][F-]{11} \rloop{0,-1} ^{b:b\dn} \ar "4,3" ^{a:b\dl} & *=[o][F-]{10} \ar "4,4" ^{a:b\dl} & }$

Можно проверить, что для любых $i \in \mathbb{N}$ , $j \in \mathbb{N}$ и $k \in \mathbb{N}$ выполняется следующее:

$\begin{align*} & \underset{ 1 }{ b } a ^{k+2} \overstar{\vdash} a b \underset{ 8 }{ a } a ^k ,\\ & a b ^{j+1} \underset{ 8 }{ a } a ^2 \overstar{\vdash} \underset{ 7 }{ b } a ^{j+2} ,\\ & a b ^{j+1} \underset{ 8 }{ a } a ^{k+3} \overstar{\vdash} a ^{j+2} b \underset{ 8 }{ a } a ^k ,\\ & a ^{i+2} b ^{j+1} \underset{ 8 }{ a } a ^{k+2} \overstar{\vdash} a ^{i+1} b ^{j+2} \underset{ 8 }{ a } a ^k ,\\ & a b ^{j+1} \underset{ 8 }{ a } a ^{k+2j+5} \overstar{\vdash} a b ^{j+2} \underset{ 8 }{ a } a ^k . \end{align*}$

Следовательно,

$\begin{align*} & \underset{ 1 }{ b } a ^{i+(j+2)^2} \squeeze{\overstar{\vdash}} a b ^{j+1} \underset{ 8 }{ a } a ^{i+2} ,\\ & \underset{ 1 }{ b } a ^{(k+2)^2} \overstar{\vdash} \underset{ 7 }{ b } a ^{k+2} . \end{align*}$

Рассматриваемая машина Тьюринга вычисляет следующую частичную функцию:

$f( a ^n ) = \begin{cases} a^{\sqrt{n}} , &\text{если $ \sqrt{n} \in \mathbb{N} $,} \\ \text{не определено,} &\text{если $ \sqrt{n} \notin \mathbb{N} $.} \end{cases}$

Замечание 14.1.16. Тезисом Черча-Тьюринга (а иногда просто тезисом Черча ) называется следующее неформальное утверждение: для каждой вычислимой в интуитивном смысле частичной функции из $\Sigma ^*$ в $\Sigma ^*$ существует машина Тьюринга, которая эту функцию вычисляет.

Упражнение 14.1.17. Найти детерминированную машину Тьюринга с входным алфавитом {a}, вычисляющую функцию f, заданную соотношением

f(aⁿ) = aⁿ⁺¹.

Упражнение 14.1.18. Найти детерминированную машину Тьюринга с входным алфавитом {a}, вычисляющую функцию f, заданную соотношением

$f(a^n) = \varepsilon .$

Определение 14.1.19. Зафиксируем два различных символа a и b и положим $\Sigma = \{a,b\}$ . Пусть k - положительное целое число и f - частичная функция из $\mathbb{N}^k$ в $\mathbb{N}$ . Детерминированная машина Тьюринга

$M \peq \lalg Q , \Sigma , \Gamma , b , \Delta , I , F \ralg$

вычисляет функцию f тогда и только тогда, когда для любых натуральных чисел $n_1 , \ldots , n_k$ выполняются следующие условия:

1) если $f ( n_1 , \ldots , n_k )$ не определено, то не существует таких $p \in I$ , $q \in F$ , $a \in \Gamma$ , $x \in \Gamma ^*$ , $y \in \Gamma ^*$ , что