Упражнение 2.1.25 |
Алгоритмические проблемы
Определение 14.1.12.
Пусть f - частичная функция из
в
.
Детерминированная машина Тьюринга
![M \peq \lalg Q , \Sigma , \Gamma , b_0 , \Delta , I , F \ralg](/sites/default/files/tex_cache/6f0fbc92516b3a31fc077ddf4803c159.png)
![w \in \Sigma ^*](/sites/default/files/tex_cache/45ac711deb660662c67fedd8acfb3178.png)
![p \in I](/sites/default/files/tex_cache/a975ceec63d2ae3c01ccc5ddebfd2824.png)
![q \in F](/sites/default/files/tex_cache/b9972d605b5db1e126616bfcd43c36e9.png)
![a \in \Gamma](/sites/default/files/tex_cache/c449f0abfd183e71e3e229c521077d3e.png)
![x \in \Gamma ^*](/sites/default/files/tex_cache/f32f623cc75ce0816ef88dd395bb72f7.png)
![y \in \Gamma ^*](/sites/default/files/tex_cache/c1f4693c4d02af06b58be1bcac9d01de.png)
![\lp \varepsilon , p , b_0 , w \rp
\overstar{\vdash} \lp x , q , a , y \rp ;](/sites/default/files/tex_cache/da97684f3a835915be9764382a941e10.png)
![p \in I](/sites/default/files/tex_cache/a975ceec63d2ae3c01ccc5ddebfd2824.png)
![q \in F](/sites/default/files/tex_cache/b9972d605b5db1e126616bfcd43c36e9.png)
![m \in \mathbb{N}](/sites/default/files/tex_cache/7b35c4ed023dc212b4fc4c0d401c2be6.png)
![n \in \mathbb{N}](/sites/default/files/tex_cache/50100444a526bcc8967f6d37a829fc09.png)
![\lp \varepsilon , p , b_0 , w \rp
\overstar{\vdash} \lp b_0 ^m , q , b_0 , z b_0 ^n \rp .](/sites/default/files/tex_cache/a9c5a988e36bff0398d7436e6f95e096.png)
Определение 14.1.13.
Частичная функция из
в
называется вычислимой,
если существует детерминированная машина Тьюринга,
вычисляющая эту функцию.
Пример 14.1.14. Машина Тьюринга из примера 14.1.9 вычисляет следующую частичную функцию:
![f( a ^n ) =
\begin{cases}
\varepsilon , &\text{если число $ n $ четно,} \\
\text{не определено,} &\text{если число $ n $ нечетно.}
\end{cases}](/sites/default/files/tex_cache/fac4a080ad99a58d12f81663116f2112.png)
Пример 14.1.15. Рассмотрим детерминированную машину Тьюринга
![\lalg Q , \Sigma , \Gamma , b_0 , \Delta , I , F \ralg ,](/sites/default/files/tex_cache/a8251e14b096462b502ada84aa50c22f.png)
![\begin{align*}
Q &= \{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 \} ,\\
\Sigma &= \{ a \} ,\\
\Gamma &= \{ a , b \} ,\\
b_0 &= b ,\\
I &= \{ 1 \} ,\\
F &= \{ 7 \} ,\\
\Delta &= \{
\lp \lp 1 , b \rp , \lp 2 , b , 1 \rp \rp ,\
\\ &\hphantom{ {} = {} \{ } %\}
\lp \lp 2 , b \rp , \lp 7 , b , 0 \rp \rp ,\
\lp \lp 2 , a \rp , \lp 3 , a , -1 \rp \rp ,\
\\ &\hphantom{ {} = {} \{ } %\}
\lp \lp 3 , b \rp , \lp 3 , a , 1 \rp \rp ,\
\lp \lp 3 , a \rp , \lp 4 , b , 1 \rp \rp ,\
\\ &\hphantom{ {} = {} \{ } %\}
\lp \lp 4 , b \rp , \lp 5 , b , -1 \rp \rp ,\
\lp \lp 4 , a \rp , \lp 8 , a , 0 \rp \rp ,\
\\ &\hphantom{ {} = {} \{ } %\}
\lp \lp 5 , b \rp , \lp 6 , b , -1 \rp \rp ,\
\\ &\hphantom{ {} = {} \{ } %\}
\lp \lp 6 , a \rp , \lp 6 , a , -1 \rp \rp ,\
\lp \lp 6 , b \rp , \lp 7 , b , 0 \rp \rp ,\
\\ &\hphantom{ {} = {} \{ } %\}
\lp \lp 8 , b \rp , \lp 8 , b , 1 \rp \rp ,\
\lp \lp 8 , a \rp , \lp 9 , a , 1 \rp \rp ,\
\\ &\hphantom{ {} = {} \{ } %\}
\lp \lp 9 , a \rp , \lp 9 , a , 1 \rp \rp ,\
\lp \lp 9 , b \rp , \lp 10 , b , -1 \rp \rp ,\
\\ &\hphantom{ {} = {} \{ } %\}
\lp \lp 10 , a \rp , \lp 11 , b , -1 \rp \rp ,\
\\ &\hphantom{ {} = {} \{ } %\}
\lp \lp 11 , b \rp , \lp 11 , b , 0 \rp \rp ,\
\lp \lp 11 , a \rp , \lp 12 , b , -1 \rp \rp ,\
\\ &\hphantom{ {} = {} \{ } %\}
\lp \lp 12 , a \rp , \lp 12 , a , -1 \rp \rp ,\
\lp \lp 12 , b \rp , \lp 13 , b , -1 \rp \rp ,\
\\ &\hphantom{ {} = {} \{ } %\}
\lp \lp 13 , b \rp ,\! \lp 13 , b , -1 \rp \rp ,\
\lp \lp 13 , a \rp ,\! \lp 14 , b , -1 \rp \rp ,\
\\ &\hphantom{ {} = {} \{ } %\}
\lp \lp 14 , a \rp ,\! \lp 8 , a , 1 \rp \rp ,\
\lp \lp 14 , b \rp ,\! \lp 3 , b , 1 \rp \rp
\} .
\end{align*}](/sites/default/files/tex_cache/75cd681f2717a609dc0553901dfb3ee6.png)
![\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle
\xymatrix {
%
& *=[o][F=]{7}
& *=[o][F-]{6}
\rloop{0,-1} ^{a:a\dl}
\ar "1,2" _{b:b\dn}
& *=[o][F-]{5}
\ar "1,3" _{b:b\dl}
&
&
\\
%
& *=[o][F-]{1}
\ar @`{+/l16mm/} [] ^{}
\ar "2,3" ^{b:b\dr}
& *=[o][F-]{2}
\ar "1,2" ^*!/u1.5mm/{b:b\dn}
\ar "3,2" ^*!/u2mm/{a:a\dl}
&
&
&
\\
%
& *=[o][F-]{3}
\rloop{0,1} ^{b:a\dr}
\ar "3,4" ^{a:b\dr}
&
& *=[o][F-]{4}
\ar "1,4" _{b:b\dl}
\ar "3,5" ^{a:a\dn}
& *=[o][F-]{8}
\rloop{0,1} ^{b:b\dr}
\ar "3,6" ^{a:a\dr}
& *=[o][F-]{9}
\rloop{0,1} ^{a:a\dr}
\ar "4,5" ^{b:b\dl}
\\
*=[o][F-]{14}
\ar "3,5" <-0.2mm> ^-(.3){a:a\dr}
\ar "3,2" ^{b:b\dr}
& *=[o][F-]{13}
\rloop{0,-1} ^{b:b\dl}
\ar "4,1" ^{a:b\dl}
& *=[o][F-]{12}
\rloop{0,-1} ^{a:a\dl}
\ar "4,2" ^{b:b\dl}
& *=[o][F-]{11}
\rloop{0,-1} ^{b:b\dn}
\ar "4,3" ^{a:b\dl}
& *=[o][F-]{10}
\ar "4,4" ^{a:b\dl}
&
}](/sites/default/files/tex_cache/d83a9b970d547776fa560a10d1a6e7e6.png)
![i \in \mathbb{N}](/sites/default/files/tex_cache/bea310ff5f150672095e8f15ea6a1960.png)
![j \in \mathbb{N}](/sites/default/files/tex_cache/9d198691971945cf866af0ec2b02ec5b.png)
![k \in \mathbb{N}](/sites/default/files/tex_cache/c1ad5cfc740bbafc365761668589da82.png)
![\begin{align*}
& \underset{ 1 }{ b } a ^{k+2} \overstar{\vdash}
a b \underset{ 8 }{ a } a ^k ,\\
& a b ^{j+1} \underset{ 8 }{ a } a ^2 \overstar{\vdash}
\underset{ 7 }{ b } a ^{j+2} ,\\
& a b ^{j+1} \underset{ 8 }{ a } a ^{k+3} \overstar{\vdash}
a ^{j+2} b \underset{ 8 }{ a } a ^k ,\\
& a ^{i+2} b ^{j+1} \underset{ 8 }{ a } a ^{k+2} \overstar{\vdash}
a ^{i+1} b ^{j+2} \underset{ 8 }{ a } a ^k ,\\
& a b ^{j+1} \underset{ 8 }{ a } a ^{k+2j+5} \overstar{\vdash}
a b ^{j+2} \underset{ 8 }{ a } a ^k .
\end{align*}](/sites/default/files/tex_cache/a5fe16c2bed880b32d4f6320598e013c.png)
![\begin{align*}
& \underset{ 1 }{ b } a ^{i+(j+2)^2} \squeeze{\overstar{\vdash}}
a b ^{j+1} \underset{ 8 }{ a } a ^{i+2} ,\\
& \underset{ 1 }{ b } a ^{(k+2)^2} \overstar{\vdash}
\underset{ 7 }{ b } a ^{k+2} .
\end{align*}](/sites/default/files/tex_cache/1000423320249f4e9a3f963f46b73b70.png)
![f( a ^n ) =
\begin{cases}
a^{\sqrt{n}} , &\text{если $ \sqrt{n} \in \mathbb{N} $,} \\
\text{не определено,} &\text{если $ \sqrt{n} \notin \mathbb{N} $.}
\end{cases}](/sites/default/files/tex_cache/edca8cb13ce73d36a137057294b87429.png)
Замечание 14.1.16. Тезисом Черча-Тьюринга
(а иногда просто тезисом Черча )
называется следующее неформальное утверждение:
для каждой вычислимой в интуитивном смысле
частичной функции из
в
существует машина Тьюринга,
которая эту функцию вычисляет.
Упражнение 14.1.17. Найти детерминированную машину Тьюринга с входным алфавитом {a}, вычисляющую функцию f, заданную соотношением
f(an) = an+1.
Упражнение 14.1.18. Найти детерминированную машину Тьюринга с входным алфавитом {a}, вычисляющую функцию f, заданную соотношением
![f(a^n) = \varepsilon .](/sites/default/files/tex_cache/a4ac69c6722afa665e8fa18fe2830723.png)
Определение 14.1.19.
Зафиксируем два различных символа a и b
и положим .
Пусть k -
положительное целое число
и f -
частичная функция из
в
.
Детерминированная машина Тьюринга
![M \peq \lalg Q , \Sigma , \Gamma , b , \Delta , I , F \ralg](/sites/default/files/tex_cache/3814b0f1a9c382b70b9443a8e74f44c4.png)
![n_1 , \ldots , n_k](/sites/default/files/tex_cache/f90daab28ff7f8501bbb0fc82d3d8f44.png)
1) если
не определено,
то не существует таких
,
,
,
,
,
что
![\lp \varepsilon , p , b , a^{n_1} b a^{n_2} b \ldots b a^{n_k} \rp
\overstar{\vdash} \lp x , q , a , y \rp ;](/sites/default/files/tex_cache/5699c0a8b01fe40ecb8825ae7ff6cab4.png)
2) если ,
то
для некоторых
,
,
и
выполнено условие
![\lp \varepsilon , p , b , a^{n_1} b a^{n_2} b \ldots b a^{n_k} \rp
\overstar{\vdash} \lp b ^m , q , b_0 , a^l b ^n \rp .](/sites/default/files/tex_cache/4c4fb71270b720b4136cd420f7f69499.png)